Реферат: Метод моментов в определении ширины линии магнитного резонанса

| М > + a | М – 1 > + …,

где a — малая величина. Взаимодействие системы спинов с радиочастот­ным полем, приложенным вдоль оси ох, пропорционально Ix = SIjx и может индуцировать только переходы с DМ = ± 1. Слабые переходы знежду состоянием, скажем, |M – 2> + малая примесь, энергия которого приблизительно равна – għH0(M —2), и состоянием | М > + a | М – 1 > + … становятся возможными с вероятностью порядка a2. Разность энергии между этими состояниями приблизительно равна 2ħw0. Следовательно, таким переходам на частоте 2w0 соответствует очень слабая линия, кото­рую обычно трудно наблюдать экспериментально. Легко видеть, что линии сравнимых интенсивностей появляются на частотах 0 и 3w0.

Доказательство справедливости сохранения в гамильтониане ħH1 только членов А и В, которые коммутируют с H0 обычно называются адиабатической или секулярной частью ħH1 и которые впредь будут обо­значаться как ħH’0, может быть также дано следующим способом. Так как c¢¢(w) пропорционально фурье-преобразованию G(t)=Sp{Mx(t)Mx}, то оно может быть вычислено, если известно Mx(t) = еiHtMxе–iHt. В этом случае Mx(t) удовлетворяет уравнению

(1/i) dM/dt = [H0 +H1 , Mx(t)].                                                       (20)

§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ

Для резонансной кривой, описываемой нормированной функцией формы f(w) с максимумом на частоте w0, n-й момент Mn относительно w0 опреде­ляется выражением

Мn = ∫ (w – w0)nf(w)dw.

Если f(w) симметрична относительно w0, то все нечетные моменты равны нулю. Знание моментов дает некоторую информацию о форме резонансной кривой и, в частности, о скорости, с которой она спадает до нуля на крыльях вдали от w0.

Достоинство метода моментов состоит в том, что моменты могут быть вычислены на основании общих принципов без определения собственных состояний общего гамильтониана ħH. Прежде чем останавливаться на вычислении моментов, рассмотрим два примера резонансных кривых разном формы. Гауссова кривая описывается нормированной функцией

                                                    (24)

для которой легко найти

М2 = D2, M4 =3D4,

 М2n = 1, 3, 5, ..., (2n – 1) D2n,

причем нечетные моменты равны нулю. Полуширина на половине высоты d определяемая соотношением f(w0 + d) = f(w0)/2, или ехр( – d2/2D2) = 1/2 оказывается равной

Отсюда видно, что значение второго момента M2 = D2 для гауссовой кри­вой обеспечивает удовлетворительное приближение для ширины линии d.

Другой формой линии, которая часто наблюдается в магнитном резо­нансе, является лоренцева форма, опи­сываемая нормированной функцией

                                                    (25)

где d — полуширина на половине высоты.

В этом случае ни второй, ни более высокие моменты не могут быть определены, так как соответствующие интегралы расходятся. Однако иногда теория дает конечные значения для второго и четвертого моментов линий, которые в экспериментально наблюдаемой области имеют лоренцеву форму. В соответствии с конечными значениями M2 и М4 далеко на крыльях линии, где невозможно произвести достаточно точные измерения погло­щения вследствие его малой величины, линия должна изменяться более быстро, чем это следует из лоренцевой формы.

Грубая, но удобная пробная модель состоит в описании кривой по формуле (25) внутри интервала |w – w0|£a, где a>>d и в пред­положении о том, что она равна нулю вне этого интервала. Тогда, прене­брегая членами порядка d/a, найдем

 M2 = D2 = 2ad /p, M4 = 2a3d /(3p),                                          (IV.25a)

откуда, если известны M2 и M4 можно вычислить d и a. Поскольку

M4 /( M2)2 = pa /6d,

упомянутая модель может быть использована лишь, когда теоретическое отношение M4 /( M2)2  оказывается большим числом., В этом случае

                                                       (IV.25б)

Ширина на половине высоты значительно меньше, чем среднеквадратичная ширина. С другой стороны, предположение о гауссовой форме линии может быть разумным всякий раз, когда отношение M4 /( M2)2  порядка 3.

§ 5. МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТОВ

Основной недостаток метода моментов состоит в том, что важный вклад в значение момента (вклад тем существеннее, чем выше момент) дают крылья кривой, которые на практике не наблюдаются. Необходимо из вычисленных моментов линии магнитного резонанса с центром на ларморовской частоте w =w0 исключить вклады от сопутствующих линий на частотах w = 0, 2w0, 3w0 о которых упоминалось ранее. Легко видеть, что, несмотря на их малую интенсивность (благодаря удаленности от центральной частоты w0) вклад во второй момент сравним с вкладом от главной линии и тем больше, чем выше порядок момента. Для исключения вкладов от них следует рассматри­вать в гамильтониане возмущения ħH1 ответственного за уширение, только его секулярную часть ħH¢0, которая коммутирует с H0 и, следова­тельно, не может отвечать перемешиванию состояний с различными пол­ными М; такое смешивание является причиной появления побочных линий. Таким образом, сокращение дипольного гамильтониана до его секулярной части

не только упрощает вычисление моментов, но и делает его более точным.

Прежде чем начать расчет, отметим, что линия магнитного резонанса симметрична относительно центральной частоты w0. Убедимся в правиль­ности этого утверждения. Если | а > и | b > — два собственных состояния ħ(H0+H¢1) с разностью энергии ħ(Еа — Еb) = ħw0 + dab, то два состоя­ния | а~ > и | b~ >, полученные из | а > и | b > соответственно путем пово­рота всех спинов в обратном направлении, будут также собственными состояниями ħ(H0+H¢1) с ħ(Еb~ – Еa~) = ħw0 + dab. Таким образом, каждо­му переходу с частотой w0 + u соответствует переход равной интенсивности с частотой w0 – u. Если f(w) — функция формы, то h (u) = f(w0 + u)— четная функция u. Поскольку моменты кривой пропорциональны про­изводным в начале координат от их фурье-преобразования, мы будем применять для их вычисления формулу (13). Вследствие узости линии ядерного магнитного резонанса можно пренебречь изменением величины w в пределах ширины линии и предположить, что форма линии описывается c¢¢(w)/w, так же как и c¢¢(w). Тогда, поскольку f(w) — нормированная функция формы, (13) может быть переписано в виде

f(w) = A∫ G(t) cos wt dt,                                                       (IV.26)

где постоянная A определяется из условия нормировки f(w), а опреде­ленная ранее четная функция G (t) равна Sp{Mx(t)Mx}. Обратно

G(t) = 2/(pA)∫ f(w) cos wt dw,                                                               (IV.27)

Согласно вышеизложенному, в выражении

Mx(t) = еiHtMxе–iHt.

следует вместо H = H0+H1  подставить H = H0+H¢1  что значи­тельно упрощает вычисления. Поскольку H0 и H¢1  коммутируют, можно записать

exp{i(H0+H¢1)t} = exp(iH0t) exp(iH¢1t).

Учитывая, что зеемановский гамильтониан ħH0 равен ħw0Iz функцию G (t) можно переписать в виде

                                            (IV.28)

Шпур произведения операторов инвариантен относительно циклической перестановки, поэтому

                                          (IV.28a)

В этом выражении оператор exp(iw0Izt) определяет поворот на угол w0t вокруг оси z, и, следовательно, можно записать

  (29)

Легко видеть, что второй член в (29) равен нулю, так как поворот спинов на 180°, например вокруг оси ох, не изменяет H¢1   и Mx но преоб­разует Mу в – My.

Заменяя в (27) G (t) на G1(t)cosw0t, где

G1(t)=Sp{еxp(iH‘1t)Mxе(–iH‘1t)Mx}

называется сокращенной функцией автокорреляции, и вводя обозначение

h (u) = f(w0 + u),

получаем

Заменяя нижний предел на – ¥, что допустимо для узких линий, найдем

Поскольку h (и) является четной функцией, второй интеграл равен нулю и

G1(t)=Sp{еxp(iH‘1t)Mxе(–iH‘1t)Mx}

                                                          (30)

Различные моменты кривой распределения h (и) относительно резонансной частоты w =w0 определяются выражением

Нечетные моменты равны нулю, а четные определяются формулой

                   (31)

Таким образом, для вычисления моментов резонансной кривой достаточно разложить G1 (t) в выражении (30) по степеням t. При этом коэффициенты разложения представляют собой шпуры от операторов, которые являются полиномами от H¢1   и Mx .

Сущность метода заключается в том, что значения упомянутых шпуров не зависят от выбора основных состояний и могут быть вычислены, напри­мер, в представлении, где значения mj = Ijz  отдельных спинов (поэтому представление называется mj-представлением) являются хорошими кван­товыми числами. Таким образом, нет необходимости решать проблему отыскания собственных состояний | n > полного гамильтониана. Из опре­деления (30) функции G1(t) вытекает, что значение ее р-й произ­водной в момент t = 0 определяется выражением

                           (IV.32)

Формула (32) просто находится из дифференциального уравнения

                                                                      (33)

которому удовлетворяет зависящий от времени оператор

M¢x(t) = е(iH1¢t)Mxе(–iH1¢t)t.

Решение этого уравнения может быть представлено в виде ряда

M¢x(t) = Mx + M¢ (1)x(t) + M¢ (2)x(t) + …+ M¢ (n)x(t),

отдельные члены, которого получаются методом индукции с помощью соот­ношения

из последнего сразу же следует (32). Из (31) и (32) для первых двух четных моментов находим

                                                                   (34)

                                                             (34a)

B (34) Mx заменено полным спином Ix, пропорциональным Mx . По­скольку мы определили гамильтониан в виде ħH, следует помнить, что эти моменты соответствуют ширинам линии, измеренным в единицах w = 2pn.