Реферат: Экзаменационные билеты по методам оптимизации за весенний семестр 2001 года

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 13

1) Необходимые и достаточные условия существования у функции локального экстремума.

2) Опишите возможные варианты выбора интервала неопределенности при одномерном, пассивном поиске в случае трех экспериментов.

3) Специфика задач на условный экстремум функционала при ограничивающих условиях, заданных на замкнутой области.

4) Определите минимальное значение функции f(x)=x2-4x+3.

5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(1+(y’)2)dx.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 14

1) Каноническая форма уравнений Эйлера.

2) Каковы свойства экстремума в задачах линейного программирования? В каких точках может достигаться экстремум в задачах линейного программирования?

3) Рассмотрите задачу о нахождении кривой наименьшей длины, соединяющей заданные две точки.

4) Определите, чему равно минимальное значение функции f(x)=x4-x2+1.

5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫(xy’+(y’)2)dx.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 15

1) Основные этапы проектирования любой управляемой системы.

2) Понятие «симплекс-метода решения задач линейного программирования».

3) Понятие «метода отсечения» в задачах целочисленного программирования.

4) Найти точки экстремума функции f(x)=x3+x2-x+1.

5) Найти минимальное значение функции двух переменных f(x,y)=x2-2x+y2-2y+6 , при каких значениях переменных оно достигается.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 16

1) Понятие «аналитических методов» в задачах оптимизации.

2) Математическая формулировка задачи линейного программирования.

3) Критерий минимума стоимости в единицу времени в задачах оптимизации.

4) Известно, что точка х=1 является точкой экстремума функции f(x)=x6/6-x5/5+x2/2-x. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x*y – функция
x+y=1 - условие

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 17

1) Понятие «локального» и «глобального минимума функции одной переменной». Приведите примеры.

2) Использование симплекс-таблицы в задаче линейного программирования.

3) Понятие «переходного процесса». В связи с чем возникла проблема переходных процессов в задачах теории регулирования?

4) Найти стационарные точки функции f(x)=x3/3-2x2+3x+1 на отрезке [0,5].

5) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 18

1) Классификация критериев оптимизации. Приведите примеры выбора критериев оптимизации.

2) Опишите стратегию поиска экстремума методом дихотомии. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом дихотомии после N экспериментов.

3) Понятие «линейной формы» и виды ограничений в задачах линейного программирования. Сведение ограничений в форме неравенств к условиям в форме равенств.

4) Курс доллара в течение месяца менялся по закону f(x)=0.16x-0.005x2+28 где х – день месяца. Определите день, когда курс доллара был максимален и чему он был равен.

5) В плоскости (x,y) указать область определяемую неравенствами:
(x2+y2) ≤1
(x-y) ≤0

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 19

1) Понятие «функционала» и «вариационного исчисления».

2) Понятие «одномерного поиска экстремума». Сведение задачи поиска экстремума к задаче нахождения нулей функции

3) Получите и решите уравнение для величины золотого сечения.

4) При каком значении х функция f(x)=-3x3+2x2-1 достигает минимального значения на отрезке [0,1]?

5) Решите следующую задачу линейного программирования (найти минимальное значение величины z при заданных ограничениях):
x-y≥3
3x-y≤-3
x,y≤0
z=x+y→min

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 20

1) Классическая постановка задачи вариационного исчисления.

2) Градиентный метод поиска экстремума для функции нескольких переменных.

3) Постановка задачи распределения ресурсов.

4) Количество студентов-учащихся СГУ в течение последних 8 лет менялось по закону f(x)=-x3/3+9x2/2-14x+1000  где х – номер года. В каком году прием студентов был наибольший, а в каком наименьший.

5) Исследовать функцию f(x)=5x2-4xy+y2-2x+1  на безусловный экстремум.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 21

1) Метод неопределенных множителей Лагранжа в вариационной задаче с ограничениями.

2) Овражный метод поиска экстремума. В каких случаях он применяется?

3) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция Fy’y’=0

4) Найти минимальное значение функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1  на отрезке [0,3].

5) Прибыль фирмы менялась в зависимости от года-x и от номера месяца в году-y следующим образом:
F(x)=50-x2+10x-y2+10y.
Определите, в каком году и в каком месяце прибыль была максимальной.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 22

1) Постановка вариационной задачи с ограничениями. Привести пример.

2) Дайте геометрическую интерпретацию симплекс-метода поиска экстремума в задачах линейного программирования для случая двух переменных.

3) Математическая формулировка задач целочисленного программирования.

4) Известно, что расстояние от земли в метрах брошенного вертикально вверх камня меняется по закону S=4*t - t2, где t – время. Определите, на какую максимальную высоту поднимется камень.

5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫((y’)2+2yy’)dx.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 23

1) Постановка задачи оптимизации. Условия необходимые для постановки задачи оптимизации.

2) Классификация методов решения задач нелинейного программирования.

3) Минимаксный критерий в задачах оптимизации.

4) Известно, что производительность труда работника меняется в зависимости от его зарплаты по закону f(x)=5000x-10x2+500, где х – зарплата в $. Определите, сколько нужно платить работнику, чтобы производительность его труда была максимальной.

5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +2y2 – функция
y=x+1  -  условие

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 24

1) Постановка задачи Лагранжа в вариационном исчислении.

2) Понятие «метода рандомизации поиска точек экстремума».

3) Задача об использовании ресурсов как пример задачи линейного программирования.

4) Найти все точки локального экстремума функции f(x)=x3/3-3x2/2+2x+1 на отрезке [0,3].

5) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+2x.

                

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 25

1) Метод Ритца решения уравнения Эйлера.

2) Оцените эффективность метода дихотомии и сравните ее с эффективностью метода пассивного поиска.

3) Математическая постановка задачи динамического программирования.

4) Найти минимальное значение функции f(x)=x + 1/x на отрезке [1,3] и определить, при каком х оно достигается.

5) В плоскости (x,y) указать область, для которой выполняются следующие условия:
y-x≤2
y ≥0
x≤0

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 26

1) Уравнение Эйлера в задаче вариационного исчисления.

2) Приведите сравнительные характеристики методов дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения и метода пассивного поиска

3) Рассмотрите частный случай уравнения Эйлера, когда подинтегральная функция F не зависит от y.

4) Показать, что точка х=1 является точкой перегиба (седловой точкой) функции f(x)=x3/3-x2+x+5.

5) Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$  и  y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 9 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤9 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем в 2 раза т.е. y ≤2x. Определите, какова величина максимальной прибыли.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 27

1) Классические методы поиска точек экстремума функции одной переменной. Приведите примеры.

2) Метод Ньютона поиска нулей функции. Запишите итерационную формулу метода Ньютона. Покажите графически, как происходит процесс приближения к корню.

3) Функциональное уравнение Беллмана.

4) Чему равно максимальное значение функции f(x)=2x2-x-5-x3 на интервале [0,2]?

5) Минимизировать функцию F=4x+3y при ограничениях:
4x+y-3≥0
x+5y-15≥0
x,y≥0

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 28

1) Возникновение и развитие теории управления.

2) Опишите стратегию поиска экстремума методом Фибоначчи. Приведите формулу для длины интервала неопределенности при поиске методом Фибоначчи после N экспериментов и формулу длины исходного интервала неопределенности

3) Использование динамических методов в задачах целочисленного программирования.

4) Определите, максимальное и минимальное значение функции f(x)=-3x+5 на отрезке [0,1], и при каких значениях х они достигаются.

5) Максимизировать функцию F=x+3y при ограничениях:
x-2≤0
y-2≤0
x,y≥0

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 29

1) Классификаци методов оптимизации. Возможные подходы.

2) Понятие «выпуклой области» в задачах линейного программирования. Проиллюстрируйте понятие «выпуклости» графически.

3) Сформулируйте и докажите лемму Лагранжа о непрерывных функциях.

4) Найти точку максимума и минимума функции f(x)=x*(x-1)2 и определить значения функции в этих точках.

5) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y-x2+x.

                

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 30

1) Понятие «системного анализа» в задаче оптимизации.

2) Постановка задачи нелинейного программирования.

3) Метод ветвей и границ в задачах целочисленного программирования.

4) Известно, что точка х =1 является точкой экстремума функции f(x)=-2x-x2+2x3-0.5x4. Определите, является ли эта точка точкой максимума или точкой минимума функции.

5) Найти условный экстремум функции, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.
F(x,y)=x2 +y2 +x– функция
y=x+1  -  условие

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 31

1) Понятие «критерия оптимизации». Условия, которым должен удовлетворять критерий оптимизации.

2) Метод наискорейшего спуска поиска экстремума для функции нескольких переменных.

3) Классификация методов решения задач целочисленного программирования.

4) Найти минимальное значение функции f(x)=x-sin(2x) на интервале [0,1].

5) Найти точку экстремума функции двух переменных f(x,y)=xy+y2-x2+y .

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 32

1) Принцип максимума Понтрягина для задач с непрерывным временем.

2) Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

3) Специфика задачи целочисленного программирования. Понятие «регулярности».

4) Найти точки локального и глобального минимума функции f(x)=2x2-2x+5-x3 на отрезке [0,2].

5) Фирма выпускает два вида товаров а и б. Цена товара а - 2$  за штуку и цена товара б - 1$ за штуку. Какое количество товара а (х) и товара б (y) надо выпускать ежедневно, чтобы выручка была максимальной. При этом надо учитывать, что за день может быть произведено не более 10 штук товара б (y≤10) и количество y не менее чем на 3 должно превышать количество х [(y-x)≥3]. Определить величину максимальной ежедневной выручки.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 33

1) Необходимое и достаточное условие существования экстремума функционала. Условие Лежандра.

2) Понятие «последовательного, или активного поиска». Сравните эффективности методов активного и пассивного поиска.

3) Понятие «критерия максимального быстродействия» в задачах оптимизации.

4) Определите, чему равно максимальное значение, которого достигает функция f(x)=3x3-2x2+1 на отрезке [0,1].

5) Записать уравнение Эйлера для функционала: F[y(x)]=∫y*y’dx.

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 34

1) Связь задач теории регулирования с задачами теории устойчивости.

2) Сравнительные характеристики задач линейного и нелинейного программирования.

3) Постановка задачи о кратчайшем пути.

4) . Средний балл студента-выпускника СГУ в течение последних 10 лет с момента открытия менялся по закону f(x)=-x3/90-0.2x2-0.9x+4. Определите, в каком году успеваемость была наилучшей, а в каком наихудшей.

5) Фирма выпускает автомобили двух видов х штук в день по цене 1000$  и  y штук в день по цене 2000$. Сколько автомобилей каждого вида надо выпускать ежедневно, чтобы прибыль была максимальной. При этом надо учитывать, что в день может быть изготовлено не более 10 автомобилей обоих видов т.е. (x+y) ≤10 и что число автомобилей y не может превышать число автомобилей х более чем на 2 т.е. (y-x) ≤2. Определите, какова величина максимальной прибыли.

                

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

Экзаменационный билет по предмету

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Билет № 35

1) Понятие «функции нескольких переменных». Необходимое условие существования экстремума у функции нескольких переменных.

2) Постановка задачи квадратичного программирования. Необходимое условие выпуклости квадратичной формы.

3) Необходимое условие существования экстремума функции многих переменных. Понятие «стационарной точки».

4) При каких x функция f(x)=(x-1/4)2+1 принимает максимальное и минимальное значение на отрезке [0,1] и чему равны эти значения?

5) Минимизировать функцию F=2x+3y при ограничениях:
4x+y-2≥0
x+2y-4≥0
x,y≥0

               

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------