Реферат: Дискретные цепи
(2.18)
Для периодических дискретных сигналов корреляционная функция и энергетический спектр связаны формулами ДПФ
. (2.19)
Отсюда получаются расчётные формулы энергии периодических дискретных последовательностей
, (2.20)
что соответствует равенству Парсеваля для дискретных периодических сигналов. Корреляционная функция таких сигналов определяется по формуле круговой свёртки
.
Расчет энергии дискретного сигнала можно выполнить при необходимости, применяя равенство Парсеваля относительно Z - изображений сигнала и его инверсной копии (теорема энергий)
, (2.21)
где
- Z -
изображение корреляционной функции.
Уместно
заметить, что применительно к случайным сигналам корреляционная функция чаще
определяется формулой с весовым множителем , т.е.
,
соответственно для энергетического спектра
,
что приводит к результату, при котором среднее значение случайной величины с ростом N сходится к постоянной величине.
Свертка сигнала с инверсной копией другого сигнала называется взаимной корреляцией этих сигналов.
Расчёт энергии сигнала в дискретной цепи.
В любой точке дискретной цепи энергию сигнала можно вычислить по известному сигналу или по корреляционной функции сигнала в этой точке. Корреляционную функцию сигнала в некоторой точке цепи можно определить не только по известному сигналу, но и по известной корреляционной функции входного сигнала и импульсной реакции
, (2.22)
где
-
корреляционная функция сигнала на входе цепи,
- корреляционная
функция импулсного отклика в данной точке,
- условный знак
свёртки.
Докажем равенство (2.22).
.
В этом выражении в силу линейности цепи сигналы можно сочетать различными способами. Поэтому
,
что доказывает справедливость (2.22). Следовательно
. (2.23)
Автокорреляционная
функция является чётной функцией, поэтому применяя круговую свёртку (2.22),
периоды и
необходимо
выровнять с таким расчетом, чтобы сохранить чётный характер этих функций.
Пример. Определить энергию сигнала на выходе цепи, если
x(nT) = {0,5; 0,5}, h(nT) = {1,0; 0,5}.
Решение.
1. Расчет во временной области.
Определяем сигнал на выходе цепи по формуле круговой свёртки
Отсюда
.
2. Расчёт в частотной области.
Вначале необходимо определить отсчёты спектра сигнала по формуле прямого ДПФ
.
Отсюда, согласно равенству Парсеваля,
.
3. Расчёт по формуле (2.23).
Определяем
корреляционные функции и
.
Следовательно,
.
увеличивая
период и
до N=5, получаем
,
.
На
рис.(2.9,а) показана периодическая последовательность до увеличения периода, на рис. (2.9,б)
- после увеличения периода .
Согласно (2.22)
.
Отсюда
.
В заключении рассмотрим важный часный случай применения формулы (2.23).
Для случайных сигналов с нулевым средним
, (2.24)
где
- дисперсия
случайного сигнала x(nT).
Отсюда, учитывая (2.23),
.
Следовательно
, (2.25)
Формула (2.25) применяется, в частности, для расчёта шумов квантования в цифровых цепях .
Секционирование.
Реальные
сигналы могут иметь значительную протяжённость во времени, поэтому обработка
таких сигналов на ЭВМ осуществляется посекционно. Расчёты по каждой секции выполняются по
формуле круговой свёртки
,
где h(nT) - импульсная характеристика, определяющая способ обработки сигнала .
Каждая
секция совмещается
с предидущей секцией с учётом сдвига между секциями входного сигнала .
Применяются два основных метода секционирования: метод перекрытия с суммированием и метод перекрытия с накоплением.
1. Метод перекрытия с суммированием.
Сигнал
x(nT) разбивается на секции длиной L. Отсюда- длина секции
,
- длина секции
,
- длина
.
Длина
секции больше
длины секции
на
. Поэтому
смежные секции выходного сигнала
перекрываются на интервале длиной
. На интервале
перекрытия необходимо выполнить арифметические операции по суммированию
отсчётов.
2. Метод перекрытия с накоплением.
Сигнал
x(nT) разбивается на секции длиной L. Затем каждая секция наращивается слева
участком предидущей секции длиной . Поэтому
- длина
,
- длина
,
- длина
.
Искусственное
удлинение каждой секции приводит к тому, что первые и последние отсчётов секции
являются ложными
и поэтому отбрасываются. Оставшиеся L отсчётов каждой секции, являются
истинными, поэтому смежные секции
совмещаются без перекрытия и без
зазора.
Пример. Осуществить посекционную обработку сигнала
x(nT) = { 1,0; 0,5 }, если h(nT)= { 1,0; 0,5 }.
Решение.
Применим метод перекрытия с накоплением.
Пусть
L = 1. Отсюда ;
, поэтому после
искусственного удлинения секций:
.
Выравниваем периоды сигналов для применения круговой свёртки:
N = N1 + N2- 1 = 3. Следовательно x0(nT)= {0; 0,4;
0}, x1(nT)= {0,4; 0,8; 0}, x2(nT)= {0,8; 0; 0} После
свёртки по каждой секции и отбрасывания отсчётов получаем:
отсюда
y(nT)= {0,4; 1,0; 0,4}.
Метод перекрытия с накоплением получил преимущественное распространение, поскольку здесь не требуется проведения дополнительных арифметичкских операций после обработки каждой секции.