Реферат: Баричев С. Криптография без секретов

Воз­мож­ность га­ран­ти­ро­ван­но оце­нить за­щи­щен­ность ал­го­рит­ма RSA ста­ла од­ной из при­чин по­пу­ляр­но­сти этой СОК на фо­не де­сят­ков дру­гих схем. По­это­му ал­го­ритм RSA ис­поль­зу­ет­ся в бан­ков­ских ком­пь­ю­тер­ных се­тях, осо­бен­но для ра­бо­ты с уда­лен­ны­ми кли­ен­та­ми (об­слу­жи­ва­ние кре­дит­ных кар­то­чек).

В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTP, S-MIME, S/WAN, STT и  PCT.

Рас­смот­рим ма­те­ма­ти­че­ские ре­зуль­та­ты, по­ло­жен­ные в ос­но­ву это­го ал­го­рит­ма.

Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)

Если р - простое число, то

xp-1 = 1 (mod p)                                 (1)

для любого х, простого относительно р, и

xp = х (mod p)                                  (2)

для любого х.

Доказательство. Достаточно доказать справедливость уравнений (1) и (2) для хÎZp. Проведем доказательство методом индукции.

Очевидно, что уравнение (8.2.2) выполняется  при х=0 и 1. Далее

xp=(x-1+1)p= å C(p,j)(x-1)j=(x-1)p+1 (mod p),

                                            0£j£p

так как C(p,j)=0(mod p) при 0<j<p. С учетом этого неравенства и предложений метода доказательства по индукции теорема доказана.

Определение. Функцией Эйлера j(n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
j(n)	1	2	2	3	2	6	4	6	4	10	4

 

Теорема 2. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то

j(n)=(p-1)(q-1).

Теорема 3. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно  р и q, то

xj(n) = 1 (mod n).

Следствие . Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно j(n), то отображение

Еe,n: x®xe (mod n)

является взаимно однозначным на Zn.

Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно j(n), то существует целое d, такое, что

ed = 1 (mod j(n))                              (3)

На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.

Пусть n=pq, где p и q - различные простые числа. Если e и d удовлетворяют уравнению (8.2.3), то отображения Еe,n и Еd,n являются инверсиями на Zn. Как Еe,n, так и Еd,n легко рассчитываются, когда известны e, d, p, q. Если известны e и n, но p и q неизвестны, то Еe,n представляет собой одностороннюю функцию; нахождение Еd,n по заданному n равносильно разложению n. Если p и q - достаточно большие простые, то разложение n практически не осуществимо. Это и заложено в основу системы шифрования RSA.

Пользователь i выбирает пару различных простых pi и qi и рассчитывает пару целых (ei, di), которые являются простыми относительно j(ni), где ni=pi qi . Справочная таблица содержит публичные ключи {(ei ,ni)}.

Предположим, что исходный текст

 x =(x0, x1, ..., xn-1), xÎZn , 0 £ i < n,

сначала представлен по основанию ni :

N = c0+ci ni+....

Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi,ni :

N ® Edi,ni n = n’.

Пользователь j производит дешифрование n’, применяя Eei,ni :

N’ ® Eei,ni n’= Eei,ni Edi,ni n = n .

Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi,ni по отношению к Eei,ni, требуется знание множителей n=pi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.

Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.

Пример Зашифруем сообщение “САВ”. Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).

1.  Выберем p=3 и q=11.

2.  Определим n=3*11=33.

3.  Найдем (p-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое  с 20, например, d=3.

4.  Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.

5.  Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А®1, В®2, С®3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.

ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,

ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.

6.  Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:

ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,

ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.

Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (p и q) устанавливается n.

{e,n} образует открытый ключ, а {d,n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).

От­кры­тый ключ пуб­ли­ку­ет­ся и дос­ту­пен ка­ж­до­му, кто же­ла­ет по­слать вла­дель­цу клю­ча со­об­ще­ние, ко­то­рое за­шиф­ро­вы­ва­ет­ся ука­зан­ным ал­го­рит­мом. По­сле шифрования, со­об­ще­ние не­воз­мож­но рас­крыть с по­мо­щью от­кры­то­го клю­ча. Вла­де­лец же за­кры­то­го клю­ча без тру­да мо­жет рас­шиф­ро­вать при­ня­тое со­об­ще­ние.

Практическая реализация RSA

В настоящее время алгоритм RSA активно реализуется как в виде самостоятельных криптографических продуктов[8], так и в качестве встроенных средств в популярных приложениях[9].

Важная проблема практической реализации - генерация больших простых чисел. Решение задачи «в лоб» - генерация случайного большого числа n (нечетного) и проверка его делимости на множители от 3 вплоть до n0.5. В случае неуспеха следует взять n+2 и так далее.[10]

В принципе в качестве p и q можно использовать «почти» простые числа, то есть числа для которых вероятность того, что они простые, стремится к 1. Но в случае, если использовано составное число, а не простое, криптостойкость RSA падает. Имеются неплохие алгоритмы, которые позволяют генерировать «почти» простые числа с уровнем доверия 2-100.

Другая проблема - ключи какой длины следует использовать?

Для прак­ти­че­ской реа­ли­за­ции ал­го­рит­мов RSA по­лез­но знать оцен­ки тру­до­ем­ко­сти раз­ло­же­ния про­стых чи­сел раз­лич­ной дли­ны, сде­лан­ные Шроппелем.

log10 n	Число операций	Примечания
50	1.4*1010	Раскрываем на суперкомпьютерах
100	2.3*1015	На пределе современных технологий
200	1.2*1023	За пре­де­ла­ми со­вре­мен­ных тех­но­ло­гий
400	2.7*1034	Тре­бу­ет су­ще­ст­вен­ных из­ме­не­ний в тех­но­ло­гии
800	1.3*1051	Не раскрываем

В кон­це 1995 го­да уда­лось прак­ти­че­ски реа­ли­зо­вать рас­кры­тие шиф­ра RSA для 500-знач­но­го клю­ча. Для это­го с по­мо­щью се­ти Ин­тер­нет бы­ло за­дей­ст­во­ва­но 1600 ком­пь­ю­те­ров.

Сами авторы RSA рекомендуют использовать следующие размеры модуля  n:

·   768 бит - для частных лиц;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11