Курсовая работа: Полином Жегалкина
Курсовая работа: Полином Жегалкина
Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра АПРиС
Курсовая работа
по дискретной математике
«Полином Жегалкина»
Выполнили:
Проверила:
Шерыхалина Н.М.
Уфа – 2008
Оглавление
Цель работы
Введение
Теоретическая часть
Алгоритм
Блок-схемы
Листинг программы
Тестирование программы
Заключение
Список использованной литературы:
Цель работы
Целью данной работы является изучение булевых функций, разработка алгоритма их представления в виде полинома Жегалкина и написания программы, реализующей этот алгоритм.
Введение
В курсе дискретной математики изучаются функции, область определения которых – дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов.
Теоретическая часть
Полнота и замкнутость
Определение 1: Система функций 
из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально
полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через
функции этой системы.
Пример:
1) Само множество 
;
2)
;
3)
- не полна.
Теорема 1. Пусть даны две
системы функций из 
, (I)
. (II)
Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.
Доказательство: Пусть 
. В силу
полноты системы I , функцию h можно выразить в виде формулы 
.
По условию теоремы
Поэтому
ч. т. д.
Примеры:
1) 
- полная.
2) 
- тоже полная, так как 
.
3) 
- тоже полная.
4) 
- тоже полная, так как
,
,
. ((2) – I)
5) 
- неполная.
Докажем это от противного.
Предположим, что 
.
Но 
.
Противоречие.
6) 
- неполная (сохраняет константу 0).
6’) 
- полная.
7) 
- неполная (сохраняет константу 1).
8) 
тогда взяв в качестве системы I систему 2) можно заключить, система
функций 8) – полная. Тем самым, справедлива
Теорема Жегалкина. Каждая
функция из 
может
быть выражена при помощи полинома по модулю 2 – (полинома Жегалкина):
,
где 
. (1)
Имеем: число разных
сочетаний 
равно
числу подмножеств множества из n
элементов. Каждое aik может
принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных полиномов Жегалкина
равно 
,
т.е. равно числу различных булевых функций.
Т. о. получаем единственность представления функций через полином Жегалкина.
Способы представления функции в виде полинома Жегалкина
1) Алгебраические преобразования
.
Пример:
2) Метод неопределенных коэффициентов
- искомый полином Жегалкина
(реализующий функцию 
).
Вектор 
из формулы (1) будем
называть вектором коэффициентов полинома 
.
Нам нужно найти
неизвестные коэффициенты 
.
Поступаем так. Для
каждого составим 
уравнение 
, где 
- выражение, получаемое
из (1) при 
.
Это дает систему из 
уравнений с 
неизвестными, она имеет
единственное решение. Решив систему, находим коэффициенты полинома 
.
3) Метод, базирующийся на преобразовании вектора значения функции
Пусть 
- вектор значений
функции.
Разбиваем вектор 
на двумерные
наборы:
.
Операция T определена следующим образом:
.
Применяем операцию Т к двумерным наборам:
Используя построенные
наборы, конструируем четырехмерные наборы, которые получаются в результате
применения операции Т к четырехмерным наборам, выделяемым из 
.
Затем от четырехмерных
наборов переходим (аналогично) к восьмимерным и т.д., пока не построим 
- мерный набор.
Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома 
.
Пример:
Пусть вектор значений
функций 
=
(0,0,0,1,0,1,1,1)
Полученный вектор
является искомым векторов коэффициентов полинома 
.
Определение 2: Пусть M – некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества M. Обозначается [M].
Замечание. Замыкание инвариантно относительно операций введения и удаления фиктивных переменных.
Примеры.
1) M=P2, [M]=P2.
2) M={1,x1Åx2}, [M] – множество L всех линейных функций вида
, (ciÎ{0,1}).
Свойства замыкания:
1) Если М замкнуто, то [M]=M;
2) [[M]]=[M];
3) M1ÍM2 Þ [M1]Í[M2];
4) [M1ÈM2]Ê[M1]È[M1].
Определение 3. Класс (множество) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.
Примеры.
1) Класс M=P2 функционально замкнут;
2) Класс {1,x1Åx2} не замкнут;
3) Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).
Новое определение полноты. M – полная система, если [M]=P2.
булевой функция полином жигалкин
В данной программе был реализован метод неопределенных коэффициентов для построения полинома Жегалкина.
1. Получить таблицу истинности для определенного количества переменных;
2. Заполнить значения функции для каждого из наборов таблицы истинности;
3. Последовательно вычислить неизвестные коэффициенты;
4. Записать функцию в виде полинома Жегалкина с вычисленными коэффициентами.
| x1 | x2 | x3 | f |
| 0 | 0 | 0 | f1 |
| 0 | 0 | 1 | f2 |
| 0 | 1 | 0 | f3 |
| 0 | 1 | 1 | f4 |
| 1 | 0 | 0 | f5 |
| 1 | 0 | 1 | f6 |
| 1 | 1 | 0 | f7 |
| 1 | 1 | 1 | f8 |
.
Листинг программы:
#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int FuncVolume (int &f)
{
do {cout <<"Vvedite znachenit funkcii na dannom nabore :"<<endl;
cin>>f;
if ((f!=0)&&(f!=1))
cout<<"Error!!!Funkciya mojet prinimat' znachenie libo 0 libo 1!\n";
}
while ((f!=0)&&(f!=1));
return f;
}
void main()
{
clrscr();
const N=8;
int m[5];
int f[N],a[N];
for (int i =0; i<N; i++)
{
FuncVolume (f[i]);
}
a[0]= f[0];
a[3]=f[0]^f[1];
a[2]=f[0]^f[2];
a[1]=f[0]^f[4];
m[0]=f[1]^a[2]^a[3];
a[5]=m[0]^f[3];
m[1]=f[1]^a[1]^a[3];
a[6]=m[1]^f[5];
m[2]=f[1]^a[1]^a[2];
a[4]=m[2]^f[6];
m[3]=a[3]^a[4]^a[5];
m[4]=m[2]^m[3]^a[6];
a[7]=m[4]^f[7];
cout<<"\n\nTablica istinnosti dlya dannoy funkcii : \n\n";
cout<<"x_1 x_2 x_3 f\n\n";
cout<<" 0 0 0 "<<f[0]
<<"\n 0 0 1 "<<f[1]
<<"\n 0 1 0 "<<f[2]
<<"\n 0 1 1 "<<f[3]
<<"\n 1 0 0 "<<f[4]
<<"\n 1 0 1 "<<f[5]
<<"\n 1 1 0 "<<f[6]
<<"\n 1 1 1 "<<f[7]<<"\n\n";
cout<<"\n\nZnachenie koefficientov v polimome Jigalkina : \n\n" ;
for (i=0; i<N;i++)
{
cout<<"a_"<<i<<" "<<a[i]<<"\n";}
cout<<"Polinom Jigalkina dlya dannoy funkcii imeet vid : \n f = "<<a[0]
<<"^("<<a[1]<<"*x_1)^("<<a[2]<<"*x_2)^("<<a[3]<<"*x_3)^("<<a[4]<<"*x_1*x_2)^\n^("<<a[5]<<"*x_2*x_3)^("<<a[6]<<"*x_1*x_3)^("
<<a[7]<<"*x_1*x_2*x_3)";
getch();
}
Тестирование программы:
На каждом наборе вводятся единицы, то есть функция является тождественной единицей. Простейшая проверка на правильность работы программы:
Так же реализована проверка на правильный ввод данных:
Заключение
В курсовой работе был реализован метод неопределенных коэффициентов для представления функции в виде полинома Жегалкина. По данному алгоритму на языке С++ была написана программа, результат которой был продемонстрирован.
Список использованной литературы
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука. — 1986
2. Н.А.Ахметова, З.М.Усманова Дискретная Математика. Функции алгебры логики учебное электронное издание – Уфа – 2004
3. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
