Курсовая работа: Моделирование системы массового обслуживания
print OUT "Среднее время ожидания: $svo\n";
$potkaz = int($otkaz/$ppp*10000)/100;
print OUT "Количество отказов: $otkaz, $potkaz%\n";
$sr_dl_och = int($sr_voo / $max_T * 100) / 100;
print OUT "Средняя длина очереди: $sr_dl_och\n\n";
$ssvo = $ssvo + $svo;
$ppp = 0;
$otkaz = 0;
$rabot = 0;
$svob = 0;
$svo = 0;
$manvoo = 0;
$maxvoo = 0;
}
$skz = int($skz / $F*1)/1;
$sotkaz = int($sotkaz / $F*100)/100;
$svpr = int($svpr / $F*100)/100;
$ssvo = int($ssvo / $F*100)/100;
$smaxvoo = int($smaxvoo / $F*100)/100;
$sr_och = int($sr_och / $F * 100) / 100;
print OUT "\n\nОТЧЕТ:\n\n";
print OUT "Среднее кол-во заявок за рабочий период: $skz\n";
$spotkaz = int($sotkaz/$skz*10000)/100;
print OUT "Среднее кол-во отказов: $sotkaz, $spotkaz%\n";
$vodsl = 100 - $spotkaz;
print OUT "Вероятность обслуживания: $vodsl%\n";
$ops = 1 - $spotkaz / 100;
print OUT "Относительная пропускная способность: $ops\n";
$aps = int($ops * $L*100) / 100;
print OUT "Абсолютная пропускная способность [ед./час]: $aps\n";
print OUT "Среднее время простоя на $N каналах обслуживания за период $T часов, час: $svpr\n";
$vprost = int($svpr / $T / $N * 10000) / 100;
print OUT "Вероятность простоя СМО: $vprost%\n";
$kz = 100 - $vprost;
print OUT "Коэффициент загузки СМО: $kz%\n";
$srkanal = int($srkanal / $F * 100) / 100;
print OUT "Среднее число занятых каналов: $srkanal из $N\n";
print OUT "Среднее время ожидания: $ssvo\n";
$svprzay = int(($ssvo + $svrobsl / $F / $skz) * 100) / 100;
print OUT "Среднее время пребывания заявки в СМО (ожидание + обслуживание): $svprzay\n";
print OUT "Среднее максимальное время ожидания: $smaxvoo\n";
print OUT "Средняя длина очереди: $sr_och\n\n";
}
else
{
print "файл данных не найден\n";
}
}
else
{
print "файл данных не задан\n";
}
close(OUT);
4. Описание функционирования математической модели
Приведем формулы, необходимые для вычислений:
1. 
расчет времени поступления заявок в СМО, где λ – интенсивность потока заявок,
R - случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0,1),
Тk-1 – время поступления предыдущей заявки;
2. 
- вычисляет время обслуживания канала m;
3. 
- определяет интервал времени
между двумя последовательными заявками (между k-й и k+1);
4. 
- формирует момент поступления
следующей заявки;
5. 
- расчет среднего времени
ожидания;
Под характеристиками СМО с ограничением на количество заявок в очереди будем понимать величины, по которым можно оценивать эффективность работы СМО и выбирать лучший из нескольких вариантов СМО.
Величины эффективности:
Ротк – вероятность отказа, показывает, какая доля всех поступающих заявок не обслуживается системой из-за занятости ее каналов или большого количества заявок в очереди (для СМО без ограничений на очередь Ротк = 0);
Ротк=kотк/k, 4.1
где kотк – количество заявок, получивших отказ, k – общее количество заявок, поступивших в СМО
Робсл – вероятность обслуживания (относительная пропускная прособность), показывает, какая доля всех поступающих заявок обслуживается системой,
Робсл=1-Ротк 4.2
(для СМО без отказов Робсл = 1);
U – коэффициент загрузки СМО, показывает, какую часть от общего времени своей работы СМО выполняет обслуживание заявок; желательно, чтобы коэффициент загрузки СМО имел значение на уровне 0,75–0,85. Значения U < 0,75 указывают, что СМО простаивает значительную часть времени, т.е. используется нерационально. Значения U > 0,85 указывают на перегрузку СМО.
U = ρ(1 – Pотк), 4.3
где ρ - нагрузка на СМО:
где 
4.4
Величина ρ представляет собой отношение интенсивности потока заявок к интенсивности, с которой СМО может их обслуживать. Для СМО с ограничениями на очередь и без очереди возможны любые значения ρ, так как в таких СМО часть заявок получает отказ, т.е. не допускается в СМО.
q – среднее число заявок в очереди (средняя длина очереди);
S – среднее число заявок на обслуживании (в каналах), или среднее число занятых каналов;
S = mU 4.5
k – среднее число заявок в СМО, т.е. на обслуживании и в очереди;
k = q + S 4.6
w – среднее время пребывания заявки в очереди (среднее время ожидания обслуживания); формула Литтла:
4.7
t – среднее время пребывания заявки в СМО, т.е. в очереди и на обслуживании;
или 
4.8 - 4.9
γ – пропускная способность (среднее количество заявок, обслуживаемых в единицу времени); эта величина представляет интерес с точки зрения стороны, осуществляющей эксплуатацию СМО. Обычно желательна максимизация этой величины, особенно в случаях, когда обслуживание каждой заявки обеспечивает получение определенной прибыли.
γ = μS или γ = λ(1 – Pотк). 4.10
- абсолютная пропускная способность.
Величины U и S характеризуют степень загрузки СМО. Эти величины представляют интерес с точки зрения стороны, осуществляющей эксплуатацию СМО.
Например, если в качестве СМО рассматривается предприятие, выполняющее некоторые заказы, то эти величины представляют интерес для владельцев предприятия.
Величины Pотк, Pобсл, w и t характеризуют качество обслуживания заявок.
Они представляют интерес с точки зрения пользователей СМО. Желательна минимизация значений Pотк, w , t и максимизация Pобсл.
Величины q и k обычно используются в качестве вспомогательных для расчета других характеристик СМО.
Формулы (4.1)–(4.10) могут применяться для расчета характеристик любых разомкнутых СМО, независимо от количества каналов, потока заявок, закона распределения времени обслуживания и т.д. [4]
Обозначения:
время работы СМО, час [T]: 7
интенсивность поступления заявок, ед./час [L]: 7
число обслуживающих каналов, ед. [N]: 3
максимальная длина очереди, ед. [M]: 4
закон распределения времени обслуживания (exp/evenly) [ZR]: exp
среднее время обслуживания [TO]: 0,5
погрешность вычислений [E]: 0,1
количество прогонов модели
[5].
В связи с большим объемом данных по реализации 100 прогонов, приведу результаты одного в Таблице 4.1
Таблица 4.1
| № | время прихода заявки |
время начала обслуживания |
время конца обслуживания |
канал | номер в очереди | время обслуживания заявки | время ожидания (в очереди) |
| 0.13423 | 0.13423 | 1.07323 | 1 | 0 | 0.939 | 0 | |
| 0.172969 | 0.172969 | 0.177969 | 2 | 0 | 0.005 | 0 | |
| 0.372996 | 0.372996 | 0.498996 | 2 | 0 | 0.126 | 0 | |
| 0.395133 | 0.395133 | 1.477133 | 3 | 0 | 1.082 | 0 | |
| 0.454734 | 0.498996 | 0.708996 | 2 | 0->1 | 0.21 | 0.044261 | |
| 1.0321 | 1.0321 | 1.0741 | 2 | 0 | 0.042 | 0 | |
| 1.192161 | 1.192161 | 1.804161 | 1 | 0 | 0.612 | 0 | |
| 1.304736 | 1.304736 | 1.508736 | 2 | 0 | 0.204 | 0 | |
| 1.423904 | 1.477133 | 1.500133 | 3 | 0->1 | 0.023 | 0.053228 | |
| 1.498956 | 1.500133 | 1.501133 | 3 | 0->1 | 0.001 | 0.001176 | |
| 1.583731 | 1.583731 | 1.738731 | 2 | 0 | 0.155 | 0 | |
| 1.72184 | 1.72184 | 2.37884 | 3 | 0 | 0.657 | 0 | |
| 1.768943 | 1.768943 | 2.605943 | 2 | 0 | 0.837 | 0 | |
| 1.929808 | 1.929808 | 1.941808 | 1 | 0 | 0.012 | 0 | |
| 1.949207 | 1.949207 | 4.358207 | 1 | 0 | 2.409 | 0 | |
| 2.020496 | 2.37884 | 2.70784 | 3 | 0->1 | 0.329 | 0.358344 | |
| 2.199114 | 2.605943 | 2.791943 | 2 | 1->2 | 0.186 | 0.406828 | |
| 2.401371 | 2.70784 | 4.36184 | 3 | 1->2 | 1.654 | 0.306469 | |
| 2.666255 | 2.791943 | 2.986943 | 2 | 1->2 | 0.195 | 0.125687 | |
| 2.728184 | 2.986943 | 3.338943 | 2 | 1->2 | 0.352 | 0.258758 | |
| 3.364248 | 3.364248 | 3.379248 | 2 | 0 | 0.015 | 0 | |
| 3.450507 | 3.450507 | 3.584507 | 2 | 0 | 0.134 | 0 | |
| 3.798883 | 3.798883 | 4.041883 | 2 | 0 | 0.243 | 0 | |
| 3.870281 | 4.041883 | 4.080883 | 2 | 0->1 | 0.039 | 0.171602 | |
| 4.028639 | 4.080883 | 5.240883 | 2 | 1->2 | 1.16 | 0.052243 | |
| 4.074847 | 4.358207 | 4.730207 | 1 | 1->2 | 0.372 | 0.28336 | |
| 4.316383 | 4.36184 | 5.63084 | 3 | 1->2 | 1.269 | 0.045457 | |
| 4.465872 | 4.730207 | 4.902207 | 1 | 0->1 | 0.172 | 0.264335 | |
| 4.494469 | 4.902207 | 5.309207 | 1 | 1->2 | 0.407 | 0.407737 | |
| 4.528788 | 5.240883 | 5.272883 | 2 | 2->3 | 0.032 | 0.712094 | |
| 4.536596 | 5.272883 | 6.252883 | 2 | 3->4 | 0.98 | 0.736286 | |
| 4.565434 | -1 | - | - | 4->4 | 0 | - | |
| 4.580016 | -1 | - | - | 4->4 | 0 | - | |
| 4.644491 | -1 | - | - | 4->4 | 0 | - | |
| 4.944335 | 5.309207 | 5.662207 | 1 | 2->3 | 0.353 | 0.364871 | |
| 5.064146 | 5.63084 | 5.90084 | 3 | 2->3 | 0.27 | 0.566694 | |
| 5.117229 | 5.662207 | 5.743207 | 1 | 2->3 | 0.081 | 0.544977 | |
| 5.201751 | 5.743207 | 6.242207 | 1 | 2->3 | 0.499 | 0.541455 | |
| 5.525887 | 5.90084 | 6.12684 | 3 | 1->2 | 0.226 | 0.374952 | |
| 5.5837 | 6.12684 | 6.68084 | 3 | 2->3 | 0.554 | 0.543139 | |
| 5.595149 | 6.242207 | 7.331207 | 1 | 2->3 | 1.089 | 0.647057 | |
| 5.626051 | 6.252883 | 6.354883 | 2 | 2->3 | 0.102 | 0.626831 | |
| 5.741963 | 6.354883 | 6.773883 | 2 | 2->3 | 0.419 | 0.612919 | |
| 5.790596 | 6.68084 | 7.11084 | 3 | 2->3 | 0.43 | 0.890244 | |
| 6.176534 | 6.773883 | 7.871883 | 2 | 1->2 | 1.098 | 0.597348 | |
| 6.310764 | 7.11084 | 8.88584 | 3 | 2->3 | 1.775 | 0.800075 | |
| 6.407596 | 7.331207 | 8.878207 | 1 | 2->3 | 1.547 | 0.92361 | |
| 6.592344 | 7.871883 | 8.082883 | 2 | 2->3 | 0.211 | 1.279538 | |
| 6.687681 | 8.082883 | 9.866883 | 2 | 2->3 | 1.784 | 1.395202 | |
| 6.702902 | 8.878207 | 8.940207 | 1 | 2->3 | 0.062 | 2.175304 | |
| 6.910557 | 8.88584 | 9.59184 | 3 | 1->2 | 0.706 | 1.975282 |
Окончание обслуживания каждым каналом:
канал 1: 8.940207
канал 2: 9.866883
канал 3: 9.59184
Суммарное время простоя на 3 каналах: 2.33993000000001 час за общее время обслуживания 28.39893 часов,
минимальное время ожидания: 0
максимальное время ожидания: 2.175304
среднее время ожидания: 0.374262
количество отказов: 3, 588%
5. Анализ результатов испытаний
Средние значения по 100 прогонам:
Среднее количество заявок за рабочий период: 49
Среднее количество отказов: 0.8, 1.63%
Вероятность обслуживания: 98.37%
Относительная пропускная способность: 0.9837
Абсолютная пропускная способность [ед./час]: 6.88
Среднее время простоя на 3 каналах 2.55ч за период обслуживания 7 часов
Вероятность простоя СМО: 12.14%
Коэффициент загрузки СМО: 87.86%
Среднее число занятых каналов: 1.94 из 3
Среднее время ожидания: 0.88
Среднее время пребывания заявки в СМО (ожидание + обслуживание): 1.38
Среднее максимальное время ожидания: 2.13
Средняя длина очереди: 0.49
По коэффициенту загрузки можно судить о качестве загрузки СМО. Используя формулы 4.1 - 4.4 и таблицу 4.1, получим значение 87.86%
Коэффициент загрузки равен 0,8786 и находится в промежутке больше 0,85. Это значит, что СМО перегружена.
Если рассматривать данную СМО с целью получения прибыли, то по формулам 4.2, 4.10 и с помощью таблицы 4.1 получим значение пропускной способности 6,88. Для получения прибыли важна ее максимизация.
Заключение
По мере усложнения производственных процессов, развития науки, проникновения в тайны функционирования и развития живых организмов появились задачи, которые не решались с помощью традиционных математических методов и в которых все больше место стал занимать собственно процесс постановки задачи, возросла роль эвристических методов, усложнился эксперимент, доказывающий адекватность формальной математической модели.
В области применения имитационного моделирования лежат задачи моделирования биологических систем, военные, экономические, социальные. Что позволяет решать проблемы различного характера и большого объема.
В данной курсовой мы рассмотрели примитивную задачу о поступлении заявок (клиентов) в канал (парикмахерскую), убедились в эффективности модели.
Список использованных источников
1 Голик Е.С. Системное моделирование. Ч.1. Имитационное моделирование. Факторный эксперимент: учебно-методический комплекс (учебное пособие)/Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. – СПб: СЗТУ, 2007. – 211 с.
2 Голик Е.С. Математические методы системного анализа и теории приятия решений. Ч. II: Учебное пособие. – СПб: СЗТУ, 2005, - 102 с.
3 Кудрявцев Е.М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – М.: ДМК Пресс, 2004. – 320 с.: ил. (Серия «Проектирование»).
