Курсовая работа: Математическое моделирование полета лыжника при прыжке с трамплина
(7)
где 
- горизонтальная, а 
- вертикальная
составляющая скорости ветра.
Начальные условия:
(8)
Очевидно, что в общем случае задача если и решается аналитически, то очень сложно, поэтому целесообразнее решать ее численно. Критерием окончания расчета будет служить выполнение одного из следующих условий:
пересечение траектории со склоном горы;
вылет прыгуна за
пределы участка приземления:
.
Рассмотрим
коэффициенты 
и
. В простейшей
модели можно положить их постоянными, как сделано, например, в работе [4].
Однако в действительности эти коэффициенты зависят от ориентации лыжника в
воздухе и от его позы. Но у нас есть достаточно оснований считать позу лрыгуна
постоянной в полете, такое допущение сделано не только в этой работе, но и в
работах [2 - 4]. Ориентацию же лыжника в пространстве определяет угол атаки
системы прыгун-лыжи, то есть угол между плоскостью системы и скоростью
набегающего потока воздуха. Здесь и далее в
Рис. 4. Определение угла атаки системы лыжник-лыжи
(
- угол между лыжами и
горизонталью, 
- угол между скоростью и
горизонталью, 
- угол атаки).
Как видно из кинограмм прыжков, приводимых, например, в [1], и из наблюдений за прыгунами, угол между лыжами и горизонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол между скоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (2) и (9), можно записать:
. (11)
Из рис. 4 видно, что
. (12)
Аэродинамические
коэффициенты 
и
можно
найти из опытов в аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не
располагаем этими данными для современных техник прыжка, поэтому в данной
работе используется лишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим
лыжника и окрыжающий его воздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ,
состоящий из круглых упругих частичек, то согласно теории удара
аэродинамическая сила будет направлена по нормали к поверхности лыж (см. рис.
5).
Рис. 5. Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеального газа
(
- полная аэродинамическая
сила, составляющими которой являются сила лобового сопротивления и подъемная
сила).
Угол между
скоростью и лыжами - это угол атаки 
. То есть коэффициент
(13)
Окончательно имеем
следующие выражения для 
и 
:
(14)
где
(15)
В формуле (14) 
- это угол
отрыва, то есть угол, под которым траектория наклонена к горизонтали в
начальный момент времени. Минус поставлен потому, что 
. Под 
понимается предельная скорость
системы лыжник-лыжи в момент отрыва (в начальный момент времени).
4. Обтекание трамплинной горы потоком воздуха
4.1. Концептуальная постановка задачи
Эта глава посвящена задаче обтекания воздухом трамплинной горы. Цель данной работы - спрогнозировать поле скоростей ветра вблизи трамплина, чтобы можно было использовать эти данные в модели полета лыжника и более точно оценить влияние ветра на полет.
Сам трамплин достаточно узок и не играет значительной роли в формировании воздухных потоков, поэтому рассматривается только гора.
Для решения задачи была привлечена теория пограничного слоя. Воздух в пограничном слое вблизи земли считается вязкой несжимаемой жидкостью. Это не противоречит очевидной сжимаемости воздуха: как будет показано ниже, условие сжимаемости (согласно [8], где используется термин "искусственная сжимаемость") будет выглядеть точно так же, как и условие несжимаемости. Рассматривается двумерная постановка задачи течения жидкости в достаточно большой области, чтобы течение во входном и выходном сечениях и на верхней границе можно было считать строго горизонтальным. Нам известны экспериментальные данные по среднесезонным и среднегодовым скоростям ветра на разных высотах, их можно использовать для проверки и выбора входных данных. В [9], например, скорости ветра заданы в виде нечетких чисел, у которых функция принадлежности имеет вероятностный смысл, а носитель измеряется в м/с:
Скорости ветра в среднем по зимнему сезону (среднее значение):
скорость ветра на высоте от 40 до 120 м (4.9 м/с):
("0 до 2"/0.188 , "2 до 5"/0.420 , "5 до 10"/0.352 , "10 до 15"/ 0.037, "свыше 15"/0.003)
скорость ветра на высоте 500 м (11.4 м/с):
("0 до 2"/0.061 , "2 до 5"/0.125 , "5 до 10"/0.336 , "10 до 15"/ 0.241, "свыше 15"/0.237)
скорость ветра на высоте от 1000 м (11.3 м/с):
("0 до 2"/0.073 , "2 до 5"/0.114 , "5 до 10"/0.290 , "10 до 15"/ 0.280, "свыше 15"/0.243)
скорость ветра на высоте от 1500 м (11.6 м/с):
("0 до 2"/0.087 , "2 до 5"/0.076 , "5 до 10"/0.276 , "10 до 15"/ 0.306, "свыше 15"/0.255)
Среднегодовые скорости ветра (среднее значение):
скорость ветра на высоте от 40 до 120 м (4.7 м/с):
("0 до 2"/0.214 , "2 до 5"/0.442 , "5 до 10"/0.316 , "10 до 15"/ 0.026, "свыше 15"/0.002)
скорость ветра на высоте 500 м (8.9 м/с):
("0 до 2"/0.117 , "2 до 5"/0.194 , "5 до 10"/0.370 , "10 до 15"/ 0.187, "свыше 15"/0.132)
скорость ветра на высоте 1000 м (9.2 м/с):
("0 до 2"/0.110 , "2 до 5"/0.183 , "5 до 10"/0.336 , "10 до 15"/ 0.225, "свыше 15"/0.146)
скорость ветра на высоте 1500 м (9.4 м/с):
("0 до 2"/0.126 , "2 до 5"/0.168 , "5 до 10"/0.284 , "10 до 15"/ 0.274, "свыше 15"/0.148)
Как видно из этих данных, начиная с высоты 500 метров скорость ветра мало изменяется, значит, эту величину можно принять в качестве толщины пограничного слоя. Рассматриваемая область имеет прямоугольную форму с выпуклостью на нижней границе - трамплинной горой.
Контрольный счет проводился при следующих граничных условиях:
во входном
сечении:
(16)
в выходном
сечении:
(17)
на верхней
границе:
(18)
на нижней границе:
(19)
Рассматриваются достаточно малые скорости, так как при сильном ветре прыжки запрещены. Малость скоростей позволяет пренебречь конвективными членами и считать течение ламинарным. Силой тяжести на данном этапе мы также пренебрегаем. Надо сказать, что мы сознаем некоторую натянутость такой постановки, в следующей работе эта задача будет решена уже с учетом и конвективного члена, и силы тяжести.
4.2. Математическая постановка
Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается следующей системой уравнений [7]:
(20)
Для двумерной постановки эти уравнения приводятся к следующему виду:
(21)
Согласно [8] для
описания сжимаемых жидкостей первое уравнение из (21) может быть заменено на
следующее: 
,
однако так как в данной работе рассматривается стационарное течение, то производная
по времени равна нулю, и это соотношение приобретает вид, идентичный условию
несжимаемости.
Задача решалась с граничными условиями (16)-(19).
В качестве области брался прямоугольник с выступом в виде трамплинной горы. Сам трамплин достаточно узок, и не вносит существенного вклада в формирование воздушного потока, поэтому он не рассматривается. Трамплинная гора состоит из участка необработанного склона - дуги окружности с известным радиусом кривизны, длиной и высотой, участка обработанного склона, предназначенного для приземления лыжников - прямой с известным углом к горизонтали и длиной и закругления с известным радиусом для безопасности тех, кто улетает за пределы допустимой дальности.
