Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль Архимеда, лемниската, Т. Барианшона, Т. Паскаля - (реферат)
p>Разделим, например, угол АОВ на три равные части (рис. 12. ). Если считать, что стрелка повернулась как раз на этот угол, то жучок, будет находиться в точке N на стороне угла. Но когда угол поворота был втрое меньше, то и жучок был втрое ближе к центру О. Чтобы найти это его положение, разделим сначала отрезок ON на три равные части. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки. Получим отрезок ON1, длина которого втрое меньше, чем ON. Чтобы вернуть жучка на спираль, нужно сделать засечку этой кривой радиусом ON1 (снова циркуль! ). Получим точку М. Угол АОМ и будет втрое меньше угла AON.ЗАДАЧИ АРХИМЕДА
Самого Архимеда занимали, однако, другие, более трудные задачи, которые он сам поставил и решил: 1) найти площадь фигуры, ограниченной первым витком спирали (на рис. 11. она заштрихована); 2) получить способ построения касательной к спирали в какой-либо ее точке N.
Замечательно, что обе задачи представляют собой самые ранние примеры задач, относящихся к математическому анализу. Начиная с XVII в. , площади фигур вычисляются математиками с Помощью интеграла, а касательные проводятся с помощью производных. Поэтому Архимеда можно назвать предшественником математического анализа.
Для первой из названных задач мы просто укажем результат, полученный Архимедом: площадь фигуры составляет точно 1/3 площади круга радиуса О А. Для второй задачи можно показать ход ее решения, несколько упростив при этом рассуждения самого Архимеда. Все дело в том, что скорость, с которой жучок описывает спираль, в каждой точке N направлена по касательной к спирали в этой точке. Если будем знать, как направлена эта скорость, то и касательную построим. Но движение жучка в точке N складывается из двух различных движений (рис. 13. ): одно - по направлению стрелки со скоростью v см/с, а другое - вращательное по окружности с центром в О и радиусом ОN. Чтобы представить последнее, допустим, что жучок замер на мгновенье в точке N. Тогда он будет уноситься вместе со стрелкой по окружности радиуса ON. Скорость последнего вращательного движения направлена по касательной к окружности. А какова ее величина? Если бы жучок мог описать полную окружность радиуса ON, то за 60 секунд он проделал бы путь, равный 2л ON [см]. Так как скорость при этом оставалась бы постоянной по величине, то для ее отыскания нужно разделить путь на время. Получим: (2 л ON)/60 = ( л ON)/30
[см/с] т. е. немногим более, чем:
0, 1ON [см/с] ( л /30 3, 14/30 0, 105).
Теперь, когда мы знаем обе составляющие скорости в точке N: одну по направлению ON, равную v см/с, и другую, к ней перпендикулярную, равную
( л ON)/30 см/с, остается сложить их по правилу параллелограмма. Диагональ представит скорость составного движения к вместе с тем определит направление касательной NT к спирали в данной точке.
Логарифмическая спираль
Кривую эту можно было бы назвать по имени Декарта, так как впервые о ней говорится в одном из его писем (1638 г. ). Однако подробное изучение ее свойств было проведено только полвека спустя Якобом Бернулли. На современных ему математиков эти свойства произвели сильное впечатление. На каменной плите, водруженной на могиле этого знаменитого математика, изображены витки логарифмической спирали.
Архимедову спираль описывает точка, движущаяся вдоль луча (“бесконечной стрелки”) так, что расстояние от начала луча возрастает пропорционально углу его поворота: r = ka. Логарифмическая спираль получится, если потребовать, чтобы не само расстояние, а его логарифм возрастал прямо пропорционально углу поворота. Обычно уравнение логарифмической спирали записывают, пользуясь в качестве основания системы логарифмов неперовым числом е (п. 25). Такой логарифм числа r называют натуральным логарифмом и обозначают In r. Итак, уравнение логарифмической спирали записывается в виде ln r = ka
Конечно, угол поворота а можно измерять по-прежнему в градусах. Но математики предпочитают измерять его в радианах, т. е. принимать за меру угла отношение длины дуги окружности между сторонами центрального угла к радиусу этой окружности. Тогда ловорот стрелки на прямой угол будет измеряться числом л 1, 57, поворот на величину развернутого угла - числом л 3, 14, а полный поворот, измеряемый в градусах числом 360, в радианах будет измеряться числом 2 л 6, 28.
Рис. 13.
Из многих свойств логарифмической спирали, отметим одно: любой луч, выходящий из начала, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом. Величина этого угла зависит только от числа k в уравнении спирали. При этом под углом между лучом и спиралью понимается угол между этим лучом и касательной к спирали, проведенной в точке пересечения (Рис. 13).
Теорема Паскаля
Б. Паскалю (1623—1662) не было еще и 17 лет, когда он открыл замечательное общее свойство конических сечений. Об его открытии математикам поведала афиша, отпечатанная в количестве 50 экземпляров; только два из них дошли до нашего времени. Несколько таких афиш были расклеены на стенах домов и церквей Парижа. Пусть читатель не удивляется этому. Ведь тогда (1640 г. ) еще не было научных журналов, на страницах которых можно было бы рассказывать другим ученым о своем открытии. Такие журналы появились лишь четверть века спустя, почти одновременно во Франции и Англии. Но вернемся к Паскалю.
Хотя его афиша и была напечатана на французском языке, а не на латинском, как это было тогда принято, парижане, глазея на нее, вряд ли могли понять, о чем там идет речь. Настолько сжато, без доказательств и пояснений излагал молодой гениальный автор свои мысли.
В начале афиши после трех определений шла под названием “леммы 1”теорема, которую мы перескажем здесь другими словами. Отметим на окружности какие-либо шесть точек, перенумеруем в любом порядке (не обязательно в том, в каком они расположены на окружности) и соединим их отрезками прямых; последний из них свяжет шестую точку с первой (рис. 14). Теорема Паскаля утверждает, что три точки пересечения прямых, полученных продолжением этих шести отрезков, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой и третьей с шестой, будут лежать на одной и той же прямой.
Рис. 14.
Попробуйте сами сделать несколько опытов, разбрасывая по-разному точки на окружности (рис. 15).
Рис. 15.
При этом может случиться, что какие-либо прямые, пересечение которых мы ищем, например, первая и четвертая, окажутся параллельными. В этом случае теорему Паскаля нужно понимать так, что прямая, соединяющая две другие точки пересечения, параллельна указанным прямым (рис. 16).
Рис. 16.
Наконец, если вдобавок окажутся параллельными между собой и вторая прямая с пятой, то в этом специальном случае, теорема Паскаля утверждает, что и прямые последней пары - третья и шестая - окажутся параллельными.
Рис. 17.
С таким случаем мы встретимся, например, когда точки на окружности являются вершинами правильного вписанного шестиугольника, перенумерованными в порядке следования на окружности (рис. 17). Паскаль не ограничился тем, что сформулировал свою теорему для окружности. Он заметил, что она должна оставаться верной, если вместо окружности взять любое коническое сечение: эллипс, параболу или гиперболу. На рис. 18 дается иллюстрация к теореме Паскаля для случая параболы.
Рис. 18.
ТЕОРЕМА БРИАНШОНА
Французский математик Шарль Брианшон (1783— 1864) обнаружил в 1806 г. , что верна следующая теорема, которая, как мы увидим, является своего рода перевертышем по отношению к теореме Паскаля.
Проведем 6 касательных к окружности (или к любому коническому сечению), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдем последовательные точки
Рис. 19.
пересечения (рис. 19). Теорема Брианшона утверждает, что три прямых, соединяющих шесть точек пересечения, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой, третьей с шестой, пересекаются в одной точке.
Рис. 20.
Чтобы подчеркнуть тесную связь между формулировками двух теорем, Брианшон записал обе формулировки в двух столбцах, одну против другой (следите за рис. 20, где слева пояснена теорема Паскаля, а справа - Брианшона).
Теорема Паскаля
Пусть 1, 2, 3, 4, 5, 6 - шесть каких-либо точек на коническом сечении. Соединим их по порядку прямыми I, II, III, IV, V и VI и найдем три точки пересечения этих шести прямых, взятых через две: I с IV, II с V и III с VI. Тогда эти три точки будут лежать на одной прямой.
Теорема Бриаишона
Пусть 1, 2, 3, 4, 5, 6 - шесть каких-либо касательных к коническому сечению. Найдем по порядку точки их пересечения I, II, III, IV, V и VI и соединим прямыми эти шесть точек, взятых через две: I с IV, II с V, III с VI. Тогда эти три прямые будут пересекаться в одной точке.
Очевидно, что для перехода от одной формулировки к другой достаточно произвести такие замены одних слов и выражений на другие: вместо точек - касательные, вместо“соединять точки прямыми” - “находить точки пересечения прямых”, вместо “три точки лежат на одной прямой” - “три прямые пересекаются в одной точке”. Короче можно сказать, что при этом переходе прямые и точки меняются между собой ролями. В проективной геометрии указываются условия, при которых в результате подобной замены из одной верной теоремы (не обязательно теоремы Паскаля) получается другая теорема, также верная. Это так называемый принцип двойственности, позволяющий доказывать из двух геометрических теорем только одну. Другая будет верной, так сказать, автоматически.
Лемниската Бернулли
Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F1 и F2той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит“ленточная”). Если длина отрезка F1F2 есть с, то расстояния от середины О отрезка F1F2 до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно – с2/4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с2/4; тогда
Рис. 21
точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид “лежащей восьмерки” (рис. 21). Если продолжить отрезок F1F2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А1 и А2. Выразим расстояние между А1А2= х через известное расстояние с: (х/2+с/2)(х/2-с/2)=х2/4-с2/4.
Если величину неизменного произведения р взять не равной с2/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с2/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F1 и F2, соответственно (рис. 22).
Рис. 22
Т. о. задавая различные условия для р и с2/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 23).
Рис. 23
Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F1, F2, .... , Fnи заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F1, F2, .... , Fnдруг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.
Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала
Рис. 24
самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов
F1, F2, .... , Fn
и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний МF1 МF2… МFn = p
что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики.
Список литературы
1. Маркушевич А. И. , Замечательные кривые, М. , 1978 г. , 48 стр. с илл.
Страницы: 1, 2
