Быстрый поиск

Векторная алгебра - (шпаргалка)

Дата добавления: март 2006г.

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА- раздел векторного исчисления в котором изучаются простейшие операции над (свободными) векторами. К числу операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число. Суммой a+b векторов a и b называют вектор , проведенный из начала a к концу b , если конец a и начало b совмещены. Операция сложения векторов обладает свойствами:

    a+b=b+a (коммутативность)
    (а+b)*с=а*(b+с) (ассоциативность)
    a + 0=a (наличие нулевого элемента )
    a+(-a)=0 (наличие противоположного элемента),

где 0 - нулевой вектор, -a есть вектор, противоположный вектору а. Разностью a-b векторов a и b называют вектор x такой, что x+b=a. Произведением lx вектора а на число l в случае l№0, а№О называют вектор, модуль которого равен |l||a| и который направлен в ту же сторону, что и вектор a, если l>0, и в противоположную, если l

l*(a+b)= l*a+l*b (дистрибутивность относительно сложения векторов) (l+u)*a=l*a+u*a (дистрибутивность относительно сложения чисел) l*(u*a)=(l*u)*a (ассоциативность)

1*a=a (умножение на единицу)

Множество всех векторов пространства с введенными в нем операциями сложения и умножения на число образуетвекторное пространство (линейное пространство). В Векторной алгебре важное значение имеет понятие линейной зависимости векторов. Векторыа, b, … , с называются линейно зависимыми векторами, если существуют числа a, b, …, g из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что справедливо равенство:

aa+bb+…gc=0. (1)

Для линейной зависимости двух векторов необходима и достаточна их коллинеарность, для линейной зависимости трех векторов необходима и достаточна их компланарность. Если один из векторова, b, .... ,c нулевой, то они линейно зависимы. Векторы a, b, ..., с называются линейно независимыми, если из равенства (1) следует, что числа a, b, …, gравны нулю. На плоскости существует не более двух, а в трехмерном пространстве не более трех линейно независимых векторов.

Совокупность трех (двух) линейно независимых векторов e1, e2, e3трехмерного пространства (плоскости), взятых в определенном порядке, образует базис. Любой вектор а единственным образом представляется в виде суммы:

a=a1e1+a2e2+a3e3.

Числа a1, a2, a3 называют координатами (компонентами) вектора а в данном базисе и пишут a={a1, a2, a3}. Два вектора a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3}равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3} , b№0, является пропорциональность их соответствующих координат: a1=lb1, a2=lb2, a3=lb3. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов a={a1, a2, a3} , b={b1, b2, b3} и c={c1, c2, c3} является равенство :

    | a1 a2 a3 |
    | b1 b2 b3| = 0
    | c1 c2 c3 |

Линейные операции над векторами сводятся к линейным операциям над координатами. Координаты суммы векторовa={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3} равны суммам соответствующих координат: a+b={a1+b1, a2+b2, a3+b3}. Координаты произведения вектора а на число l равны произведениям координат а на l : lа= {lа1, la2, la3}.

Скалярным произведением (а, b) ненулевых векторов а и b называют произведение их модулей на косинус угла j между ними:

(а, b) = | а |*| b | cosj.

За j принимается угол между векторами, не превосходящий p. Если а=0 или b=0, то скалярное произведение полагают равным нулю. Скалярное произведение обладает свойствами:

(a, b)= (b, а) (коммутативность),

(a, b+с)= (a, b) + (а, с) (дистрибутивность относительно сложения векторов), l(a, b)=( la, b) =(a, l6) (сочетательность относительно умножения на число), (a, b)=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или a^b.

Для вычисления скалярных произведений векторов часто пользуются декартовыми прямоугольными координатами, т. е. координатами векторов в базисе, состоящем из единичных взаимно перпендикулярных векторов (ортов) i, j, k ( ортонормированный базис). Скалярное произведение векторов : a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3}

заданных в ортонормированном базисе, вычисляется по формуле:

(a, b)=a1b1+a2b2+a3b3

Косинус угла j между ненулевыми векторами a={a1, a2, a3} и b={b1, b2, b3} может быть вычислен по формуле:

где и

Косинусы углов вектора a={a1, a2, a3} с векторами базиса i, j, k называют. направляющими косинусами вектора а:

    , , .
    Направляющие косинусы обладают следующим свойством:
    cos2a+cos2b+cos2g=1

Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором е-ортом, задающим положительное направление на прямой. Проекцией Пр. е а вектора aна ось называют направленный отрезок на оси, алгебраическое значение которого равно скалярному произведению вектораа на вектор е. Проекции обладают свойствами:

Пр. е (a+b)= Пр. е a+ Пр. е b (аддитивность),
Пр. е a = Пр. е la (однородность).

Каждая координата вектора в ортонормированном базисе равна проекции этого вектора на ось, определяемую соответствующим вектором базиса. В пространстве различают правые и левые тройки векторов. Тройка некомпланарных векторова, b, с называется правой, если наблюдателю из их общего начала обход концов векторов a, b, св указанном порядке кажется совершающимся по часовой стрелке. В противном случаеa, b, c - левая тройка. Правая (левая) тройка векторов располагается так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки(см. рис). Все правые (или левые) тройки векторов называются одинаково ориентированными.

    b b
    c c
    a a
    правило левой руки правило правой руки
    Ниже тройку векторов i, j, k следует считать правой .

Пусть на плоскости задано направление положительного вращения (от i к j). Псевдоскалярным произведением aVb ненулевых векторов a и b называют произведение их модулей на синус угла j положительного вращения от a к k:

aVb=| a || b |*sinj

Псевдоскалярное произведение нулевых векторов полагают равным нулю. Псевдоскалярное произведение обладает свойствами:

aVb=-bVa (антикоммутативность),

aV (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивность относительно сложения векторов), l(aVb)=laVb (сочетательность относительно умножения на число), aVb=0, лишь если а=0 или (и) b=0 или а и b коллинеарны.

Если в ортонормированном базисе векторы а и и имеют координаты {a1, a2} {b1, b2}, то :

aVb=a1b1-a2b2.