Теория игр и принятие решений - (реферат)
p>Будем предполагать, что лицу, принимающему решение не противостоит разумный противник. Данные, необходимо для принятия решения в условии неопределенности, обычно задаются в форме матрицы, строки которой соответствуют возможным действиям, а столбцы – возможным состояниям системы.Пусть, например, из некоторого материала требуется изготовить изделие, долговечность которого при допустимых затратах невозможно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного материала.
Варианты решения таковы:
Е1 – выбор размеров из соображений максимальной долговечности ; Еm– выбор размеров из соображений минимальной долговечности ; Ei – промежуточные решения.
Условия требующие рассмотрения таковы :
F1 – условия, обеспечивающие максимальной долговечность;
Fn – условия, обеспечивающие min долговечность;
Fi – промежуточные условия.
Под результатом решения eij = е(Ei ; Fj ) здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Ei и условиям Fj и характеризующие прибыль, полезность или надёжность. Обычно мы будем называть такой результатполезностью решения.
Тогда семейство (матрица) решений имеет вид :
F1
F2
... .
Fn
E1
e11
e12
... .
e1n
E2
e21
e22
... .
e2n
... .
... ... ... ... ... ... ... ...
Em
em1
em2
... .
emn
Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгоднейшему варианту решению необходимо ввести оценочную (целевую) функцию. При этом матрица решений сводится к одному столбцу. Каждому варианту Ei приписывается, т. о. , некоторый результат eir, характеризующий, в целом, все последствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символомeir.
§1. Классические критерии принятия решений .
1о. Минимаксный критерий .
Правило выбора решения в соответствии с минимаксным критерием (ММ-критерием) можно интерпретировать следующим образом:
матрица решений дополняется ещё одним столбцом из наименьших результатов eirкаждой строки. Необходимо выбрать те варианты в строках которых стоят наибольшее значение eir этого столбца.
Выбранные т. о. варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Это свойство позволяет считать ММ-критерий одним из фундаментальных.
Применение ММ-критерия бывает оправдано, если ситуация, в которой принимается решение следующая:
1o. О возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно; 2o. Приходится считаться с появлением различных внешних состояний Fj; 3o. Решение реализуется только один раз;
4o. Необходимо исключить какой бы то ни было риск.
2o. Критерий Байеса – Лапласа.
Обозначим через qi – вероятность появления внешнего состояния Fj. Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом: матрица решенийдополняется ещё одним столбцом содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты, в строках которых стоит наибольшее значение eir этого столбца.
При этом предполагается, что ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:
1о. Вероятности появления состояния Fj известны и не зависят от времени. 2о. Решение реализуется (теоретически) бесконечно много раз. 3о. Для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск. При достаточно большом количестве реализаций среднее значение постепенно стабилизируется. Поэтому при полной (бесконечной) реализации какой-либо риск практически исключён.
Т. о. критерий Байеса-Лапласа (B-L-критерий) более оптимистичен, чем минимаксный критерий, однако он предполагает большую информированность и достаточно длительную реализацию.
3о. Критерий Сэвиджа.
Величину aijможно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянииFj вместо варианта Ei выбирать другой, оптимальный для этого внешнего состояния вариант. Величину aij можно интерпретировать и как потери (штрафы) возникающие в состоянии Fj при замене оптимального для него варианта на вариант Ei. В последнем случае eir представляет собой максимально возможные (по всем внешним состояниям Fj , j =) потери в случае выбора варианта Ei. Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора теперь трактуется так: 1). Каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max eij соответствующего столбца. 2). Разности aij образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей eir. Выбирают те варианты, в строках которых стоит наименьшее для этого столбца значение.
Требования, предъявляемые к ситуации, в которой принимается решение, совпадают с требованием к ММ-критерию.
4о. Пример и выводы.
Из требований, предъявляемых к рассмотренным критериям становится ясно, что в следствии их жёстких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случае, когда возможна слишком сильная идеализация, можно применять одновременно поочерёдно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов ЛПР волевым методом выбирает окончательное решение. Такой подход позволяет, во-первых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.
Пример. При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к определённым экономическим издержкам. В случае же если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведёт и ещё к большим убыткам.
Варианты решения таковы:
Е1– полная проверка;
Е2– минимальная проверка;
Е3– отказ от проверки.
ЭВМ может находиться в следующих состояниях:
F1– вирус отсутствует;
F2– вирус есть, но он не успел повредить информацию;
F3– есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.
Результаты, включающие затраты на поиск вируса и его ликвидацию, а также затраты, связанные с восстановлением информации имеют вид:
Таблица 1.
ММ-критерий
критерий B-L
F1
F2
F3
eir=eij
eir
eir =
eir
E1
-20. 0
-22. 0
-25. 0
-25. 0
-25. 0
-22. 33
E2
-14. 0
-23. 0
-31. 0
-31. 0
-22. 67
E3
0
-24. 0
-40. 0
-40. 0
-21. 33
-21. 33
Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку. Критерий Байеса-Лапласа, в предположении, что все состояния машины равновероятны. P(Fj) = qj = 0. 33,
рекомендуется отказаться от проверки. Матрица остатков для этого примера и их оценка (в тысячах) согласно критерию Сэвиджа имеет вид:
Критерий Сэвиджа
F1
F2
F3
eir=aij
eir
E1
+20. 0
0
0
+20. 0
E2
+14. 0
+1. 0
+6. 0
+14. 0
+14. 0
E3
0
+2. 0
+15. 0
+15. 0
Пример специально подобран так, что каждый критерий предлагает новое решение. Неопределённость состояния, в котором проверка застаёт ЭВМ, превращается в неясность, какому критерию следовать.
Поскольку различные критерии связаны с различными условиями, в которых принимается решение, лучшее всего для сравнительной оценки рекомендации тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. В частности, если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то рекомендуется применять критерий Байеса-Лапласа. Если же число машин не велико, лучше пользоваться критериями минимакса или Севиджа.
§2. Производные критерии.
1о. Критерий Гурвица.
Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц предположил оценочную функцию, которая находится где-то между точкой зрения крайнего оптимизма и крайнего пессимизма:
eir = {Ceij + (1- C) eij },
где С– весовой множитель.
