Быстрый поиск

Теорема Штольца - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Теорема Штольца
    Содержание работы:
    Формулировка и доказательство теоремы Штольца.
    Применение теоремы Штольца:
    ;

нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты ; ;

.

Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей.

Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца.

Для определения пределов неопределенных выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу. Пусть варианта , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и возрастает: . Тогда =, Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный). Допустим, что этот предел равен конечному числу :

.

Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n>N будет

или
.

Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби , , …, , лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания ynвместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь, числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель– сумма всех знаменателей. Итак, при n>N

    .
    Напишем теперь тождество:
    ,
    откуда
    .

Второе слагаемое справа при n>N становится N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно, , что и доказывает наше утверждение.

Примеры:

Пусть, например, . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n) , следовательно, вместе с yn и xn, причем варианта xnвозрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить кобратному отношению

(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что , что и требовалось доказать.

При а>1
Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:

Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения: Если варианта anимеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта

    (“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn).
    Действительно, полагая в теореме Штольца
    Xn=a1+a2+…+an, yn=n,
    Имеем:
    Например, если мы знаем, что ,
    то и
    Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)
    ,
    которая представляет неопределённость вида .
    Полагая в теореме Штольца
    xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1,
    будем иметь
    .
    Но
    (n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… ,
    так что
    nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+…
    и
    .
    Определим предел варианты
    ,

представляющей в первой форме неопределенность вида , а во второй – вида . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида:

.

Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим .

    Но ,
    а ,
    так что, окончательно,
    .
    Пример 1.
    ====== ===.
    Пример 2.
    =
    ==
    ==
    ==
    ==
    ==
    =.
    Пример 3.
    =
    =.

Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т. к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций.

Теорема.

Пусть функция , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т. е. функция возрастающая.

Тогда ,

если только существует предел справа конечный или бесконечный. Доказательство:

    Допустим, что этот предел равен конечному числу k
    .
    Тогда, по определению предела
    или
    .
    Значит, какой бы ни взять, все дроби
    , , …,

лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель– сумма всех знаменателей. Итак, при

    .
    Напишем тождество(которое легко проверить):
    ,
    Откуда
    .

Второе слагаемое справа при становится ; первое же слагаемое, ввиду того, что , так же будет , скажем, для . Если при этом взять , то для , очевидно , что и доказывает теорему.

    Примеры:
    Найти следующие пределы:
    очевидна неопределенность
    ===2
    неопределенность
    ====0
    неопределенность
    ===
    Литература:

“Задачи и упражнения по математическому анализу” под редакцией Б. П. Демидовича. Издательство “Наука”, Москва 1996г.

Г. М. Фихтенгольц “Курс дифференциального и интегрального исчисления” Физматгиз 1962г. Москва.