Быстрый поиск

Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией - (диплом)

Дата добавления: март 2006г.

    Министерство образования Российской Федерации
    Башкирский государственный педагогический университет
    Кафедра математического анализа
    Дипломная квалификационная работа
    Автор: Гарипов Ильгиз.
    Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
    К защите допущен ____________

Заведующий кафедрой к. ф. м. н. доцент Сафаров Т. Г. Руководитель д. физ-мат. наук. профессор Султанаев Я. Т.

    Уфа 2001
    Содержание
    Стр.
    Введение 3
    § 1 Свойства функции . 4
    § 2 Свойства функции и ее производных. 5
    2. 1 5
    2. 2 6
    2. 3 где a>0 7
    2. 4 9
    § 3 Поведение 11
    3. 1 11
    3. 2 11
    3. 3 12
    3. 4 13
    § 4 Поведение 14
    4. 1 14
    4. 2 15
    4. 3 15
    4. 4 16
    Заключение 17
    Литература 18
    Введение

Пусть произвольная функция, определенная на , и при Введем в рассмотрение функцию с помощью следующего равенства: (1)

Назовем эту функцию усреднением функции

Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить

    § 2 Свойства функции .
    Если , при , то при
    Доказательство:
    , , " N >0, :
    (2)
    (3)
    Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
    (4)
    (5)
    § 2 Свойства функции и ее производных.
    I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :
    2. 1
    2. 2
    2. 3 где a>0;
    Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.

Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при функция стремится к 0. Доказательство:

Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:

Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении , то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при

Следовательно:
2. 4.

Наложить на ограничение, такое чтобы присутствие не влияло на поведение функции.

Рассматривая полученное выражение можно заметить что

становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части как только . Ограничение №1

В тоже время
Становится бесконечно малым как только . Ограничение №2

Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что

    должен быть очень малым при то есть
    так как ограниченная функция, к 0 должен стремится .
    Ограничение №3
    Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:

Следовательно, ограничение на удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции . § 3 Рассмотрим поведение функции для случаев:

    3. 1)
    3. 2)
    3. 3)

Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе: =

=

рассматривая пределы при видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член

Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции (*)

    Вычислим интеграл в знаменателе:
    =
    (**)
    Учитывая (*)и (**) получаем
    Следовательно, по формуле (2) получаем
    3. 4
    Отдельно вычислим числитель и знаменатель:

По ранее доказанному в пункте 2. 4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:

Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:

По пункту 2. 4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при

    Следовательно, знаменатель:
    §4. Рассмотрим поведение второй производной
    Для облегчения вычислений введем обозначения:
    При этом формула для примет вид (6)
    4. 1

Виду того, что d(x) очень мал то будет несравним с d(x) т. е.

4. 2

используя равенства, полученные в пункте 2. 2 и 3. 2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:

(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2. 2 и 3. 2).

    Отсюда следует что
    4. 3
    Используя данные, полученные в п. 3. 3 получаем что
    Возвращаясь к п. 3. 3 находим:
    Вычисляя по формуле 6, получаем:
    и
    4. 4
    и
    Заключение

В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице: