Быстрый поиск

Сопряженная однородная задача - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Сопряженная однородная задача
    План.
    Сопряженный оператор.
    Сопряженная однородная задача.
    Условия разрешимости.
    Сопряженный оператор.

Обозначим через дифференциальный оператор второго порядка, т. е. (1)

где представляют собой непрерывные функции в промежутке . Если и - дважды непрерывно дифференцируемые на функции, то имеем: (2)

Как и в предыдущем параграфе, интегрирование соотношения (2) по частям дает: (3)

Обозначим дифференциальный оператор, входящий в подынтегральное выражение в правой части (3) через, т. е. (4)

При этом соотношение (3) перепишется так:
(5)

Оператор называется сопряженным по отношению к оператору . Умножая соотношение (4) на и интегрируя полученный результат по частям, по отношению к оператору . Таким образом, операторы и взаимно сопряжены. Как и в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение:

    (6)
    будем называть сопряженным дифференциальному уравнению:
    (7)

Если же , то оператор и дифференциальное уравнение будем называть сопряженными. Сравнивая выражения (1) и (5), приходим к выводу, что тогда и только, когда:

Таким образом, оператор будем самосопряженным тогда и только тогда, когда . При этом:

Так как любое дифференциальное уравнение вида (7) можно преобразовать в самосопряженную форму, умножив на функцию.

Дифференцируя соотношение (5) по , получаем так называемую формулу Лагранжа: (8)

    Правая часть этой формулы может быть записана как:
    (9)
    где
    (10)
    Отметим, что:

и следовательно, матрица -невырожденная. Подстановка выражения (9) в соотношение (8) дает: (11)

Сопряженная однородная задача.

Введем следующее невырожденное линейное преобразование в вектор : (12),

где

Заметим, что указанное преобразование может быть выполнено бесчисленным множеством способов, в зависимости от выбора матрицы А. При заданном ненулевом векторедве последние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы придать любые требуемые значения компонентам. Это замечание используется в дальнейшем при нахождении вида сопряженных граничных условий. Поскольку, мы можем обратить преобразование (12) и получить: .

    При этом (11) можно переписать как:
    или
    (13),
    где (14)

Билинейная форма в соотношении (13) называется каноническим представлением билинейной формы в правой части тождества (11).

Для того чтобы найти граничные условия сопряженной задачи, положим в соотношении (13)

и и получим:
(15)

Из формулы (21) следует, что однородные граничные условия, эквивалентны равенствам:

(16)
(17)

С учетом равенств (16) и (17) соотношение (15) принимает вид: (18)

При ненулевом векторе последние две строки матрицы А могут быть выбраны так, чтобы компоненты и принимали любые требуемые значения, лишь бы и не обращались в нуль одновременно. В частности, нижние строки матрицы А можно выбрать из условия. При этом из соотношения (11) следует, что . Аналогичным образом, нижние строки матрицы А можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства. При этом из соотношения (11) вытекает, что . Таким образом, задача, сопряженная задаче (19) имеет вид:

(20)

где и связаны с компонентами вектора соотношением (14). Краевая задача (19) называется самосопряженной тогда и только тогда, когдаи каждая из двух компонент и является линейной комбинацией и , т. е. пропорциональна . Один из определителей:

матриц-блоков

должен быть отличным от нуля. Чтобы иметь возможность сравнить эти результаты с теми. которые были получены в предыдущем параграфе, предположим. что. Далее, выберем такие и , чтобы строки матрицы А были линейно независимы. Например, положим и .

    При этом матрица А примет вид:
    (21).
    Из формулы (19) следует, что .
    Тогда
    (22)

Подставляя матрицы (20) и (9) в соотношение (14) имеем (14а): Следовательно, граничные условия сопряженной задачи имеют вид: (22)

(23)

Для того, чтобы краевые задачи были самосопряженными необходимо, чтобы и чтобы каждая из компонент и являлась линейной комбинацией и . Как указывалось выше, тогда и только тогда, когда . При этом условия (21) и (20) принимают вид: (24)

Разрешая равенства относительно и при и заменяя на , получаем: (25)

Сравнивая граничные условия (24) и (25), заключаем, что они совпадают тогда и только тогда, когда:

(26)

Краевая задача при самосопряжена тогда и только тогда, когда выполнены соотношения (24) и равенство.

Условие разрешимости.

Определив сопряженную краевую задачу, вернемся к решению неоднородной задачи. Используя определение (25), перепишем формулу Грина в виде: (27)

,

тогда из соотношения (27) вытекает, что условие разрешимости имеет вид:

(27)

Для того, чтобы сравнить условие (27) с условием разрешимости, используем связь и с вектором , описываемую формулой (14а) т. е. :

(28)
При этом соотношение (27) принимает вид:

Если иметь дело с граничными условиями общего вида можно выразить какие-либо два из граничных значений через два других.