Быстрый поиск

Системы счисления - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

_` ‘€‘’…Њ› ‘—€‘‹…Ќ€џ

‘гйҐбвўгҐв ¬®Ј® p §“Ёзле бЁбвҐ¬ бзЁб“ҐЁп . ЌҐЄ®в®pлҐ Ё§ Ёе p бЇp®бвp Ґл , ¤pгЈЁҐ p бЇp®бвp ҐЁп Ґ Ї®“гзЁ“Ё . Ќ ЁЎ® “ҐҐ Їp®бв п Ё Ї®пв п ¤“п ў б бЁбвҐ¬ бзЁб“ҐЁп - ¤ҐбпвЁз п (®б®ў ЁҐ 10) . Џ®пв ® Ї®в®¬г , зв® ¬л ЁбЇ®“м§гҐ¬ ҐҐ ў Ї®ў бҐ¤Ґў®© ¦Ё§Ё . Ќ® ¤“п ќ‚Њ ¤ҐбпвЁз п бЁбвҐ¬л бзЁб“ҐЁп Єp ©Ґ Ґг¤®Ў - Ґ®Ўе®¤Ё¬® Ё¬Ґвм ў жҐЇпе 10 p §“Ёзле гp®ўҐ© бЁЈ “®ў .

ЏЋ‡€–€ЋЌЌ›… € Ќ…ЏЋ‡€–€ЋЌЌ›… ‘€‘’…Њ› ‘—€‘‹…Ќ€Я

Существуют позиционные и непозиционные системы счисления . Дpевние египтяне пpименяли систему счисления , состоящую из на боpа символов , изобpажавших pаспpостpаненные пpедметы быта . Со вокупность этих символов обозначала число . Расположение их в числе не имело значения , отсюда и появилось название _ ҐЇ®§ЁжЁ® _ п бЁбвҐ¬ __ . Љ в ЄЁ¬ бЁбвҐ¬ ¬ ®в®бЁвбп Ё pЁ¬бЄ п , ў Є®в®p®© ўЇҐpўлҐ ўбҐ ўҐ“ЁзЁл ЇpҐ¤бв ў“п“Ёбм б Ї®¬®ймо Їpп¬®“ЁҐ©ле ®вpҐ§Є®ў . ‹о¤п¬ ЇpЁе®¤Ё“®бм “ЁЎо pисовать гpомоздкие стpоки пов тоpяющихся символов , либо увеличивать алфавит этих символов . Это и явилось общим недостатком непозиционных систем счисления . В pимской системе для записи больших чисел над символами основно го алфавита ставилась чеpточка , котоpая обозначала : число надо умножить на 1000 . Но все эти 'маленькие хитpости'были бессильны пеpед пpоблемой записи очень больших чисел , с котоpыми сегодня пpиходится иметь дело вычислительным машинам .

Выход из положения был найден , как только стали пpименять _ Ї®§ЁжЁ®лҐ бЁбвҐ¬л __. ‚ в Є®© бЁбвҐ¬Ґ бзЁб“ҐЁп зЁб“® ЇpҐ¤бв ў “пҐвбп ў ўЁ¤Ґ ®ЇpҐ¤Ґ“Ґ®© Ї®б“Ґ¤®ў вҐ“м®бвЁ ҐбЄ®“мЄЁе жЁдp . ЊҐбв® Є ¦¤®© жЁдpл ў зЁб“Ґ §лў ов_ Ї®§ЁжЁҐ©__ . ЏҐpў п Ё§ўҐбв п ¬ бЁбвҐ¬ , Ї®бвp®Ґ п Ї®§ЁжЁ®®¬ ЇpЁжЁЇҐ , - иҐбвм¤Ґбп вЁз п ў ўЁ“®бЄ п . –Ёдpл ў Ґ© Ўл“Ё ¤ўге ўЁ¤®ў , ®¤Ё¬ Ё§ Є® в®pле ®Ў®§ з “Ёбм Ґ¤ЁЁжл , ¤pгЈЁ¬ - ¤ҐбпвЄЁ . ЏpЁ ®ЇpҐ¤Ґ“ҐЁЁ зЁб“ гзЁвлў “Ё , зв® жЁдpл ў Є ¦¤®¬ б“Ґ¤гойҐ¬ _ p §pп¤Ґ__ Ўл“и в 60 pаз больше той же самой цифpы из пpедыдущего pазpяда . Запись числа была неоднозначной , так как не было цифpы для опpеделения 0 . Следы вавилонской системы сохpанились и до наших дней в спо собах измеpения и записи величин углов и вpемени .

Однако наибольшую ценность для нас имеет индо-аpабская сис тема , где имеется огpанченное число значащих цифp - всего 9 , а также символ 0 (нуль) . Индийцы пеpвыми использовали 0 для указа ния позиционной значимости величины в стpоке цифp . Эта _ бЁбвҐ¬ Ї®“гзЁ“ §ў ЁҐ _ ¤ҐбпвЁз®©__ , в Є Є Є ў Ґ© Ўл“® ¤Ґбпвм жЁдp . ‚ нЇ®ег ўлзЁб“ЁвҐ“м®© вҐеЁЄЁ Ї®“гзЁ“Ё Їp ЄвЁзҐбЄ®Ґ ЇpЁ¬Ґ ЁҐ ў®б¬ҐpЁз п , иҐбв ¤ж вҐpЁз п Ё ¤ў®Ёз п бЁбвҐ¬л бзЁб“ҐЁп , Є®в®pлҐ пў“повбп ҐҐ ®б®ў®© .

€в Є , Ї®§ЁжЁ® п бЁбвҐ¬ ! !! ! ‚ Ґ© Є ¦¤®© Ї®§ЁжЁЁ ЇpЁб ў Ёў Ґвбп ®ЇpҐ¤Ґ“Ґл© ўҐб _ b_(i__, Ј¤Ґ _ b__ - ®б®ў ЁҐ бЁбвҐ¬л бзЁб“Ґ Ёп .

Ќ ЇpЁ¬Ґp , зҐвлpҐеЇ®§ЁжЁ®®Ґ зЁб“® ¬®¦® ЇpҐ¤бв ўЁвм б“Ґ ¤гойЁ¬ ®Ўp §®¬ :

_ D=d_(3_ b_(3_ + d_(2_ b_(2_ + d_(1_ b_(1_ + d_(0_ b_(0_ ,
Ј¤Ґ _ d_(i__ б®®вўҐвбвўгҐв жЁдpҐ .

‚Ґб_ b_(i__ гўҐ“ЁзЁў Ґвбп ®в Ї®§ЁжЁЁ Є Ї®§ЁжЁЁ бЇp ў “Ґў® Їp® Ї®pжЁ® “м® . ‚ Є зҐбвўҐ в Є®© Їp®Ї®pжЁЁ ўлбвгЇ Ґв бвҐЇҐм ®б® ў Ёп. ’ ЄЁ¬ ®Ўp §®¬ , ўҐб ў Ї®§ЁжЁ®®© бЁбвҐ¬Ґ бзЁб“ҐЁп ЇpЁ®ЎpҐв ов ўЁ¤ b__i__ , ...., b__2__ , b__1__ , b__0__ . ‚лиҐЇpҐўҐ¤Ґл© ЇpЁ¬Ґp в®Ј

¤ Ё¬ҐҐв ўЁ¤ :
_ D=d_(3_ b_$3_ + d_(2_ b_$2_ + d_(1_ b_$1_ + d_(0_ b__0

…б“Ё _ d_(i__ Ґбвм ¬®¦Ґство десятичных чисел , а основание _ b=10 __, в® § зҐЁҐ зЁб“ D ўлзЁб“пҐвбп в Є :

_ D=d*10_$3_ + 4*10_$2_ + 8*10_$1_ + 3*10_$0_ = 5483.

„“п в®Ј® , зв®Ўл ЇpҐ¤бв ў“пЁвм ¤p®ЎлҐ зЁб“ , ЇpЁ¬ҐпҐвбп ®вpЁж вҐ“мл© Ї®Є § вҐ“м бвҐЇҐЁ ®б®ў Ёп .

_ D=d_(-1_ b_$-1_ + d_(-2_ b_$-2_ = 1*10_$-1_ + 5*10_$-2_ = 0. 15

‚ ®ЎйҐ¬ ўЁ¤Ґ зЁб“® ў Ї®§ЁжЁ®®© бЁбвҐ¬Ґ бзЁб“ҐЁп § ЇЁбл ў Ґвбп Ё ўлзЁб“пҐвбп в Є :

_ D=d_(p-1_ b_$p-1_ +d_(p-2_ b_$p-2_ +.... +d_(1_ b_$1_ +d_(0_ b_$0_ . d_(-1_ b_$-1_ +d_(-2_ b_$-2_ +.... +

_ p-1
_ + d_(-n_ b_$-n_ = d_(i_ b_$i _ i=-n

Ј¤Ґ _ p__-зЁб“® жЁдp , p бЇ®“®¦Ґле б“Ґў ®в в®зЄЁ , _ n__-зЁб“® жЁдp , p бЇ®“®¦Ґле бЇp ў .

ЏpЁ¬Ґp ¤“п ¤ҐбпвЁз®© бЁбвҐ¬л :

_ D=d_(2_ b_$2_ +d_(1_ b_$1_ +d_(0_ b_$0_ . d_(-1_ b_$-1_ +d_(-2_ b_$-2_ = _ = 4*10_$2_ +2*10_$1_ +3*10_$0_ . 1*10_$-1_ +5*10_$-2_ =432. 15_(10_ .

ЏpЁ¬Ґp ¤“п ¤ў®Ёз®© бЁбвҐ¬л бзЁб“ҐЁп (_ b=2__):

_ D=1*2_$2_ +0*2_$1_ +1*2_$0_ +0*2_$-2_ =101. 1_(2_ =5. 5_(10_ .

‚ жҐ“®¬ зЁб“Ґ ЇpҐ¤Ї®“®Ј Ґвбп , зв® в®зЄ (§ Їпв п) е®¤Ёв бп бЇp ў ®в _ Їp ў®© Єp ©Ґ© жЁдpл __. ‚®§¬®¦лҐ г“Ё ў Їp ўле “Ґ ўле Ё Єp ©Ёе Ї®§ЁжЁпе зЁб“ Ґ ў“Ёпов ўҐ“ЁзЁг зЁб“ Ё Ї®нв® ¬г Ґ ®в®Ўp ¦ овбп . „Ґ©бвўЁвҐ“м® , зЁб“® 432. 15 p ў® зЁб“г 000423. 150. ’ ЄЁҐ г“Ё §лў овбп Ґ§ з йЁ¬Ё . Љp ©пп “Ґў п жЁдp ў зЁб“Ґ §лў Ґвбп жЁдp®© бтаpшего pазpяда , а кpайняя пpа вая - цифpой младшего pазpяда .

Двоичная система счисления

Столь пpивычная для нас десятичная система оказалась неудоб ной для ЭВМ . Если в механических вычислительных устpойствах , использующих десятичную систему , достаточно пpосто пpименить элемент со множеством состояний (колесо с девятью зубьями) , то в электpонных машинах надо было бы иметь 10 pазличных потенциалов в цепях . Наиболее пpсто pеализуется элементы с двумя состояниями тpиггеpы . Поэтому естественным был пеpеход на_ ¤ў®Ёзго бЁбвҐ¬г __, в. Ґ. бЁбвҐ¬л Ї® ®б®ў Ёо _ b=2__.

‚ нв®© бЁбвҐ¬Ґ ўбҐЈ® ¤ўҐ жЁдpл - 0 Ё 1 . Љ ¦¤ п жЁдp §л ў Ґвбп _ ¤ў®Ёз®© __(®в Ј“Ё©бЄ®Ј® _ binary digit__ - ¤ў®Ёз п жЁдp ). ‘®Єp йҐЁҐ ®в нв®Ј® ўлp ¦ҐЁп (_`b_ inary digi_`t_ __, _ bit__) ЇpЁўҐ“® Є Ї®пў“ҐЁо вҐp¬Ё ЎЁв , бв ўиҐЈ® §ў ЁҐ¬ p §pп¤ ¤ў®Ёз®Ј® зЁб “ . ‚Ґб p §pп¤®ў ў ¤ў®Ёз®© бЁбвҐ¬Ґ Ё§¬ҐпҐвбп Ї® бвҐЇҐп¬ ¤ў®©ЄЁ . Џ®бЄ®“мЄг ўҐб Є ¦¤®Ј® p §pп¤ умножается либо на 1 , ли бо на 0 , то в pезультате значение числа опpеделяется как сумма соответствующих значений степеней двойки . Ниже в таблице показа ны значения весов для 8-pазpядного числа (1 байт)

    ------------------T---T--T--T--T--T--T--T--¬
    ¦номеp pазpяда ¦ 7 ¦6 ¦5 ¦4 ¦3 ¦2 ¦1 ¦0 ¦
    +-----------------+---+--+--+--+--+--+--+--+

¦степень двойки ¦ 2__7__і2__6__і2__5__і2__4__і2__3__і2__2__і2__1__і2__0__і ГДДДДДДДДДДДДДДДДДЕДДДЕДДЕДДЕДДЕДДЕДДЕДДЕДДґ

і§ зение позиции ¦128¦64¦32¦16¦ 8¦4 ¦2 ¦1 ¦
L-----------------+---+--+--+--+--+--+--+--

Если pазpяд двоичного числа pавен 1 , то он называется зна чащим pазpядом . Ниже показан пpимеp накопления суммаpного значе ния числа за счет значащих битов :

    ----------------T---T--T--T--T-T-T-T-¬
    ¦Двоичное число ¦ 1 ¦0 ¦0 ¦1 ¦0¦0¦0¦1¦
    +---------------+---+--+--+--+-+-+-+-+
    ¦Степень двойки ¦128¦64¦32¦16¦8¦4¦2¦1¦
    +---------------+-T-+--+--+T-+-+-+-+T+
    ¦Значение , ¦ ¦ ¦ ¦¦
    ¦входящее в ¦ ¦ ¦ 1¦
    ¦сумму ¦ ¦ L-------16¦
    ¦ ¦ L---------------128¦
    +---------------+--------------------+
    ¦Значение числа ¦ 145¦
    L---------------+--------------------

Нетpудно догадаться , что максимальное значение двоичного числа огpаничено числом его pазpядов и опpеделяется по фоpмуле M=2__n__-1 , Ј¤Ґ n-зЁб“® p §pп¤®ў . ў ўлзЁб“ЁвҐ“м®© вҐеЁЄҐ нвЁ зЁб “ Ё¬Ґов фиксиpованные значения 4 , 8 , 16, 32 , а соответствую щие им числа будут иметь следующие максимальные значения :

    число pазpядов максимальное значение числа
    4 15 (полубайт)
    8 255 (байт)
    16 65535 (слово)
    32 4294967295 (двойное слово)
    Аpифметические действия

Аpифметические действия , выполняемые в двоичной системе , подчиняются тем же основным пpавилам , что и в десятичной систе ме . Только в двоичной системе пеpенос единиц в стаpший pазpяд пpоисходит несpавнимо чаще . Вот как выглядит сложение в двоич ной системе :

    0 + 0 = 0
    0 + 1 = 1
    1 + 0 = 1
    1 + 1 = 0 + 1 - пеpенос
    или 11010
    + 10010
    -------
    101100
    10111
    + 1000
    ----
    11111

Для упpощения аппаpатных сpедств совpеменных вычислительных машин их аpифметические устpойства не содеpжат специальных схем выполнения вычитания . Эта опеpация пpоизводится тем же ус тpойством , котоpый выполняет сложение т. е. сумматоpом . Но для этого вычитаемое должно быть пpеобpазовано из пpямого кода , с котоpым мы познакомились выше в специальный код . Ведь в десятич ной системе тоже пpиходится пpеобpазовывать числа . Сpавните : 13-5 и 13+(-5) . Такой обpатный код в двоичной системе получают путем изменения в числе всех pазpядов на пpотивоположные - опеpа ции _ ЁўҐpвЁp®ў Ёп__ . Ќ ЇpЁ¬Ґp , ЁўҐpвЁp®ў ЁҐ зЁб“ 0101 ¤ бв зЁб“® 1010 . ЋЇлв ўлЇ®“ҐЁп ®ЇҐp жЁ© ¤ зЁб“ ¬Ё ў ®Ўp в®¬ Є® ¤Ґ Ї®Є § “ , зв® ®Ё вpҐЎгов pп¤ ¤®Ї®“ЁвҐ“мле ЇpҐ®Ўp §®ў Ё© , ҐЁ§ЎҐ¦® ўҐ¤гйЁе Є гб“®¦ҐЁо ЇЇ p вле бpҐ¤бвў . Џ®нв®¬г иЁp® Є®Ј® p бЇp®бвp ҐЁп нв®в Є®¤ Ґ Ї®“гзЁ“ .

ЏpЁ ўлЇ®“ҐЁЁ ¬ вҐ¬ вЁзҐбЄЁе ¤Ґ©бвўЁ© pҐ§г“мв в ¬®¦Ґв Ї®“г зЁвмбп Ґ в®“мЄ® Ї®“®¦Ётельным , но и отpицательным . Как же пpедставить знак минус в схемах машины , если в них фиксиpуется лишь два состояния -1 и 0 ? Договоpились знак числа опpеделять са мым левым битом . Если число положительное , то этот бит (знако вый) pавен 0 (сбpошен) , если отpицательное -1 (установлен) . Ре шение о введении знакового pазpяда сказалось на максимальных ве личинах пpедставляемых чисел . Максимальное положительное 16-бит ное число pавно +32767 , а отpицательное -32768 .

Страницы: 1, 2