Шпоры по Высшей математике - (шпаргалка)
Шпоры по Высшей математике - (шпаргалка)
Дата добавления: март 2006г.
Определители 2-ого и 3-го порядков Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое еёопределителем и обозначаемое D=|A|.
9 элементов aij, где i-номер строка, а j-номер столбца, располагаются в квадратную таблицу, называемуюквадратной матрицей третьего порядка. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем 3-го порядка. Определители n-ного порядка.
Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения (Aij соответствующее элементу aij и равно Aij = (-1)i+j *Mij) Результат разложения не зависит от того, по какой строке (столбцу) производится разложение:
2 -1 0
4 0 3 = (3 столбец) =
-2 4 5
Свойства определителей.
Величина определителей не изменяется, если его строки заменить столбцами с теми же номерами.
Если все элементы некоторой строки определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей: у первого из них в соответствующей строке стоят первые слагаемые, у второго– вторые. Определитель, у которого элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, равны 0.
Общий множитель элементов некоторой строки можно выносить за знак определителя. При перестановке 2-х строк (столбцов) знак определителя меняется на противоположный.
Величина определителя не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы какой-либо другой, предварительно умноженные на некоторое число.
Метод Гаусса решения с. л. а. у.
При решении с. л. а. у. этим методом используются следующие преобразования, приводящие к равносильной системе уравнений:
Перестановка двух уравнений.
Умножение обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля. Прибавление к обеим частям одного уравнения соответственных частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число, отличное от нуля. “Исключение неизвестных”означает построение равносильной системы линейных уравнений, имеющий ступенчатый вид.
Множества и действия с ними.
Множество состоит из элементов множества или не содержит элементов. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, обозначается так: аО А Множество, не содержащее элементов, называется пустым или нуль - множеством, и обозначается Ж. Если каждый элемент из множества А является одновременно элементом множества В, то множество А называется подмножеством множества В. По аналогии со знаками неравенства пишут А М В или В Й А.
Если одновременно А М В и
В М А, т. е. а) каждый элемент множества А является элементом множества В; б) каждый элемент из В является элементом из А, то множества А и В называют равными: А=В. Пустые множества также называют равными. Все элементы, которые подлежат рассмотрению, собираются в так называемое универсальное множествоI, так что для каждого множества А будет: А М I. Для множеств определяют две операции: объединение И и пересечение З . А И В – объединение (сложение) множеств А и В состоит в образовании множеств, в которое входит каждый элемент из А и каждый из В. Если элемент одновременно принадлежит и множеству А и множеству В, то в А И В он встречается только один раз. А З В – пересечение (умножение) множеств А и В есть множество, состоящее из элементов, общих А и В. А – дополнение множества А (относительно I) состоит из элементов I, не принадлежащих множеству А. Таблица производных.
(С)| = 0
(gm)| = m*gm-1*g|
(ag)| = ag*lna*g|
(eg)| = eg*g|
(loga g)| = 1/g*lna*g|
(ln g)| = 1/g*g|
(sin g)| = cos g*g|
(cos g)| = -sin g*g|
(tg g)| = 1/cos2g*g|
(ctg g)| = -1/sin2g*g|
(arcsin)| = 1/ Ц1-g2 *g|
(arccos)| = -1/ Ц1-g2 *g|
(arctg)| = 1/1+g2*g|
(arcctg)| = -1/1+g2*g|
Замечательные пределы.
lim sin x/x = 1. ТЕОРЕМА: (о сжатой переменной), если f(x), g(x), h(x) определены в некоторой окрестности (. )x0 (произвольный интервал, содержащий внутри себя точку х0 данной окрестности) Сб(х0) (за исключением самой (. ) х0 и существует lim g(x) = lim h(x) = A
g(x) Ј f(x) Ј h(x),
то существует lim f(x) = A
ДОК-ВО:
xО(0; p/2)
S=DOAD Я Я Я
1/2R2*sin x R2*
Sin x)
1 < x/sin x < 1/cos x Ѕв степень –1
sin x/x > cos x
Їx®0 Їx®0
1
По теореме о сжатой переменной:
Я
lim sin x/x = 1
СЛЕДСТВИЕ:
Если a(х) – БМВ при х®х0 (х0 – м. б. конечное число или Ґ), то lim sin a(x)/a(x) = 1 ДОК-ВО:
lim sina(x)/a = Ѕy = a(x)®0Ѕ=
= lim sin y/ y =1
Япо опред.
sin x ~x в (. ) x=0
Если a(х) – БМВ в (. ) х0
lim sina(x) /a(x) = 1 Ю по опред.
Sin a(x) ~a(x) в (. ) х = х0
lim (1+1/x)x = e
СЛЕДСТВИЕ:
Если a(x) –БМВ при х®х0, то lim(1+a(x))1/2(x) = Ѕy = 1/a(x) ® Ґ Ѕ = lim (1 + 1/y)y = e