Быстрый поиск

Шпаргалка по геометрии и алгебре - (билеты)

Дата добавления: март 2006г.

Т. Сумма смежных углов = 180°

Т. Вертикальные углы равны (общая вершина, стороны одного сост. продолжение сторон друг. ) Две прямые наз-ся параллельн. , если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются. Акс. (осн. св-во паралл. прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной. Сл. : 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую. 2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.

    Признаки параллельности прямых. Е
    А В В А А В
    С Д Д Д С С
    РВАС РДСА внутр. одностор. (1рис)
    РВАС РДСА внутр. накрест лежащ. (2)
    РЕАВ РАСД соответств. (3)

Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр. накрест лежащ. Р =, то прямые параллельны. Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны, рпрямые| |. Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Р1=Р2 Но Р1=Р3 (вертикальные)рР3=Р2. Но Р2 и Р3-накрестлежщие. рПо Т 1 a | | bn Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Р=180°, то прямые | |n Для ТТ 1-3 есть обратыные.

    Т4. Если 2 паралл. прямые пересечны 3-й
    прямой, то внутр. накрестлеащие Р=, со
    ответств. Р=, сумма внутр. одностР=180°.
    Перпедикулярные пр-е пересек-ся Р90°.

1. Через кажд. тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1. 2. Из любой тчки (П данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1. 3. две прямые ^ 3-й параллельны.

4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.
Многоугольник (n-угольник)

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис. , r- впис. )

R = a / 2sin(180°/n); r = a / 2 tg (180°)

Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоС пересек. в 1 тчке (ортоцентр). 2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2: 1 (счит. От вершины).

3. Все 3 биссектр. С пересек. в 1 тчке
центр впис. Круга.

4. Все 3 ^, восстановленные из середин сторон С, пересе. в 1 тчке - центр опис. круга. 5. Средняя линия | | и = Ѕ основания

    H(опущ. на стор. a) = 2vp(p-a)(p-b)(p-c)
    a
    M(опущ на стор a) = Ѕ v 2b2+2c2 -a2
    B (-‘’-)= 2v bcp(p-a) / b+c
    p - полупериметр
    aІ=bІ+cІ-2bx, х-проекция 1-й из сторон
    Признаки равенства С: 2С=, если = сотв.
    1. 2 стороны и Р между ними.
    2. 2 Р и сторона между ними.
    3. 2 Р и сторона, противолеж. 1-му из Р
    4. три стороны
    5. 2 стороны и Р , лежащий против большей из них.
    Прямоугольный С C=90° aІ+bІ=cІ
    NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
    sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
    Равносторонний С H= v3 * a/2
    S С= Ѕ h a =Ѕ a b sin C
    Параллелограмм
    dІ+d`І=2aІ+ 2bІ
    S =h a=a b sinA(между а и b)
    = Ѕ d d` sinB (между d d`)
    Трапеция S= (a+b) h/2 =ЅuvsinZ= Mh
    Ромб S=a h =aІsinA= Ѕ d d`
    Окружность L= pRn° / 180°, n°-центрР
    Т. Впис. Р= Ѕ L , L-дуга, на ктрую опирР
    S(cектора)= Ѕ RІa= pRІn° / 360°
    Векторы... Скалярное произведение
    `а`b=|`a| |`b| cos (`a Щ`b),
    |`a| |`b| - длина векторов

Скалярное произведение |`a|{x`; y`} и |`b|{x``; y``}, заданных своими коорди-натами, = |`a| |`b| = x` Ч y` + x`` Ч y``

    Преобразование фигур
    1. Центр. Симметрия
    2. Осевая симметрия (^)
    3. Симм. Отн-но плоскости (^)

4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k>0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К . 5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)

    6. Поворот
    7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
    - все точки оси переходят сами в себя
    - любая точка АП оси р АрА` так, что

А и А` О a, a^р, РАОА` = j= const, О- точка пересеч. a и р. Результвт 2-х движений= композиции.

8. Паралeн. перенос (x, y, z)р(x+a, y=b, x=c)

9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз К=1 - движение.

    Св-ва подобия.
    1. АВСО(а); A`B`C` О(a`)
    2. (p) р (p`); [p)р[p`); aрa`; РAрРA`
    3. Не всякое подобие- гомотетия
    NB! S` = kІ S``; V ` = k 3 V ``
    Плоскости.

Т. Если прямая, П к. -л. плоскости a , | | к. -л. прямой, О a, то она | | a Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч. | | (а)и (b) T. (Признак парал. 2-х плоск. ). Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b, то a | | b. Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |. Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1. Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =. Т. Признак ^ прямой и пл-сти. Если прямая, перек-ая плос-ть, ^каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^. Т. 2 ^ к пл-сти | |.

Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^, то и другая ^ плоскости. Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти. Дано [a)^ b, [a) Оa, a Иb= (p). Д-ть: a ^ b

Док-во. [a)^ b=·М. Проведем (b) через М, (b)^(p). (a)Щ(b) - линейный Р двугранного угла между a и b. Так как [a)^ bр(a)^(b)р (a)Щ(b)=90°рa ^ bn Т. Если 2 пл-сти взаимно ^, то прямая

1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.

Т. О 3-х ^... Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти, , была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной. Многогранники

    Призма. V = S осн Ч a - прямая призма
    a - боковое ребро , S пс- S ^-го сечения
    V = S пс Ч а - наклонная призма
    V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.

Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед. V=h Sосн. ; Vпрямоуг. параллел-да = abc

    S=2(ab+ac+bc)
    Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех С.
    Фигуры вращения
    Цилиндр V=pRІH; S= 2pR (R+H)
    Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * pRІH
    S= Sосн+ Sбок= pR (r + L); L-образующая
    Сфера “оболочка” S= 4pRІ
    Шар М= 4/3 pR3
    ARCSIN a
    -p/2Јarcsin a Јp/2 sin(arcsin a)=a
    arcsin (-a)= -arcsin a
    a
    0
    1/2
    Ц2/2
    Ц3/2
    1
    arcsin a
    0
    p/6
    p/4
    p/3
    p/2
    SIN X= A
    x=(-1)n arcsin a +pk
    sin x=0
    x=pk
    sin x=1
    x=p/2+2pk
    sin x=-1
    x=-p/2+2pk
    ARCCOS a
    0 Јarccos a Јp cos(arccos a)=a
    arccos (-a)=p -arccos a
    a
    0
    1/2
    Ц2/2
    Ц3/2
    1
    arccos a
    p/2
    p/3
    p/4
    p/6
    0
    COS X= A
    x=± arccos a +2pk
    cos x=0
    x=p/2+pk
    cos x=1
    x=2pk
    cos x=-1
    x=p+2pk
    ARCTG a
    -p/2Јarctg a Јp/2 tg(arctg a)=a
    arctg (-a)= -arctg a
    a
    0
    Ц3/3
    1
    Ц3
    tg a
    0
    p/6
    p/4
    p/3
    TG X= A
    x=± arctg a +pk
    sina*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]
    sina*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
    cosa*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
    sina*cosb=1/2[sin(a-b)+sin(a+b)]
    sina*sinb=1/2[cos(a-b)-cos(a+b)]
    cosa*cosb=1/2[cos(a-b)+cos(a+b)]
    sina+sinb=2sin(a+b)/2 * cos(a-b)/2
    sina-sinb=2sin(a-b)/2 * cos(a+b)/2
    cosa+cosb=2cos(a+b)/2 * cos(a-b)/2
    cosa-cosb=-2sin(a+b)/2 * sin(a-b)/2
    (a+b)2=a2+2ab+b2
    (a-b)2=a2+2ab+b2
    (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
    a2-b2=(a-b)(a+b)
    (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
    (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
    a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
    a3-b3=(a-b)(a2+ab+ b2)
    0
    p/6
    p/4
    p/3
    p/2
    p
    2/3p
    3/4p
    5/6p
    3/2p
    0
    30°
    45°
    60°
    90°
    180
    120°
    135°
    150°
    270°
    sin
    0
    1/2
    Ц2/2
    Ц3/2
    1
    0
    Ц3/2
    Ц2/2
    1/2
    -1
    cos
    1
    Ц3/2
    Ц2/2
    1/2
    0
    -1
    -1/2
    -Ц2/2
    -Ц3/2
    0
    tg
    0
    1/Ц3
    1
    Ц3
    0
    -Ц3
    -1
    -1/Ц3
    ctg
    Ц3
    1
    1/Ц3
    0
    -1/Ц3
    -1
    -Ц3
    0
    sin2+cos2=1 sin=±Ц1-cos2 sin(-a)=-sina tg(-a)=-tga

tg•ctg=1 cos=±Ц1-sin2 cos(-a)=cosa ctg(-g)=-ctga tg=1/ctg ctg=1/tg 1+tg2=1/cos2=sec2

sin2=(1-cos)(1+cos) 1+ctg2=1/sin2=cosec2 sin2a=2sina•cosa cos2=(1-sin)(1+sin) 1-tg2/(1+tg2)=cos4-sin4 cos2a=cos2 a-sin2 a cos/(1-sin)=1+sin/cos 1/(tg+ctg)=sin•cos tg2a=2tga/1-tga

    cos(a+b)=cosa•cosb-sina•sinb sin3a=3sina-4sin3a
    cos(a-b)=cosa•cosb+sina•sinb cos3a=4cos3a-3cosa
    sin(a+b)=sina•cosb+cosa•sinb tg(a+b)=tga+tgb
    sin(a-b)=sina•cosb-cosa•sinb 1-tga•tgb
    sin(2p-a)=-sina sin(3p/2-a)=-cosa
    cos(2p-a)=cosa cos(3p/2-a)=-sina
    tg(2p-a)=-tga tg(3p/2-a)=ctga
    sin(p-a)=sina ctg(3p/2-a)=tga
    cos(p-a)=-cosa sin(3p/2+a)=-cosa
    sin(p+a)=-sina cos(3p/2+a)=sina
    cos(p+a)=-cosa tg(p/2+a)=-ctga
    sin(p/2-a)=cosa ctg(p/2+a)=-tga
    cos(p/2-a)=sina sina+sinb=2sin(a+b)/2cos(a-b)/2
    tg(p/2-a)=ctga sina-sinb=2sin(a-b)/2*cos(a+b)/2
    ctg(p/2-a)=tga cosa+cosb=2cos(a+b)/2cos(a-b)/2
    sin(p/2+a)=cosa cosa-cosb=-2sin(a+b)/2sin(a-b)/2
    cos(p/2+a)=-sina
    Y = S I N x
    1). ООФ D(y)=R 2). ОДЗ E(y)=[-1; 1]
    3). Периодическая с периодом 2p
    4). Нечётная; sin (-x)=-sin x
    5). Возрастает на отрезках [-p/2+2pk; p/2+2pk], kОZ
    Убывает на отрезках [p/2+2pk; 3p/2+2pk], kОZ
    6). Наибольшее значение=1 при х=p/2+2pk, kОZ
    Наименьшее значение=-1 при х=-p/2+2pk, kОZ
    7). Ноли функции х=pk, kОZ
    8). MAX значение=1 х=p/2+2pk, kОZ
    MIN значение=-1 х=-p/2+p+2pk, kОZ
    9). x>0 на отрезках [2pk; p+2pk], kОZ
    x    Y = C O S x
    1). ООФ D(y)=R 2). ОДЗ E(y)=[-1; 1]
    3). Периодическая с периодом 2p
    4). Чётная; cos (-x)=cos x
    5). Возрастает на отрезках [-p+2pk; 2pk], kОZ
    Убывает на отрезках [2pk; p+2pk], kОZ
    6). Наибольшее значение=1 при х=2pk, kОZ
    Наименьшее значение=-1 при х=p=2pk, kОZ
    7). Ноли функции х=p/2+pk, kОZ
    8). MAX значение=1 х=2pk, kОZ
    MIN значение=-1 х=p+2pk, kОZ
    9). x>0 на отрезках [-p/2+2pk; p/2+2pk], kОZ
    x    Y = T G x
    1). ООФ D(y)-все, кроме х=p/2+pk kОZ
    2). ОДЗ E(y)=R
    3). Периодическая с периодом p
    4). Нечётная; tg (-x)=-tg x
    5). Возрастает на отрезках (-p/2+pk; p/2+pk), kОZ
    6). Ноли функции х=pk, kОZ
    7). x>0 на отрезках (pk; p/2+pk), kОZ
    x