Быстрый поиск

Сфера и шар - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Сфера и шар
    Работа ученика 11 класса
    средней школы №1906
    юго-западного округа
    г. Москвы
    Кашина Виталия.
    Сфера и шар.

Сфера-это фигура, состоящая из всех точек пространства, удалённых от данной точки на данном расстоянии. {1, 2}

Точка О называется центром сферы, R-радиус сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр, называется диаметром сферы.

Шар-это фигура, состоящая из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не большем данного от данной точки (или фигура, ограниченная сферой).

    Уравнение сферы. {3}
    M(x; y; z)-произвольная точка, принадлежащая сфере.
    след. MC= т. к. MC=R, то

если т. М не лежит на сфере, то MCR, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром C(x0; y0; z0; ) имеет вид : {4}

    Взаимное расположение сферы и плоскости.
    {5, 6, 7}
    d - расстояние от центра сферы до плоскости.
    след. C(0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение {8}

плоскость совпадает с Оxy, и поэтому её уравнение имеет вид z=0 Если т. М(x; y; z) удовлетворяет обоим уравнениям, то она лежит и в плоскости и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы. след. возможны 3 решения системы :

{9}
1) d 0

уравнение имеет б. м. решений, пересечение сферы и плоскости - окружность C(0; 0; 0) и r^2=R^2 - d^2

2) d=R , x^2 + y^2 =0 , x=y=0 след. сфера пересекается плоскостью в точке О(0; 0; 0)

    3) d>R , d^2>R^2 R^2 - d^2 < 0
    x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 - d^2 не имеет решений
    Касательная плоскость к сфере.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Теорема:

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости. {10}

Доказательство:

Предположим, что ОА не перпендикулярен плоскости, след. ОА-наклонная к плоскости, след. ОА > R , но т. А принадлежит сфере, то получаем противоречие, след. ОА перпендикулярен плоскости.

ч. т. д.
Теорема:

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. Доказательство:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведённым из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это означает, что данная плоскость является касательной к сфере.

ч. т. д.
Площадь сферы:

Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара) , если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник. Пусть описанный около сферы многогранник имеет n-граней. Будем неограниченно увеличивать n таким образом, чтобы наибольший размер кождой грани стремился к нулю. За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера кождой грани. Можно доказать, что этот предел существует, и получить формулу для вычесления площади сферы радиуса R : S=4ПR^2