Быстрый поиск

Ряды и интеграл Фурье - (курсовая)

Дата добавления: март 2006г.

    ГЛАВА 1
    РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
    Основные сведения

Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число , что при любом значении х выполняется равенство . Число Т называется периодом функции. Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:

1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т. 2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax) имеет период . 3) Если f(x) - периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство .

Тригонометрический ряд. Ряд Фурье

Если f(x) разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд: (1)

, то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

, где n=1, 2, ... .

Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а коэффициентами ряда Фурье. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье

Точка разрыва функции называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.

ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).

ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).

Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) . Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

    =
    =
    = 0 , где n=1, 2, ... .

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:

Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x). Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:

, где n=1, 2, ... .

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:

Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то , где ,

,
,

Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0, L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L, 0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье. Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a, b], надо : доопределить на [b, a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L, a] и периодически продолжить.

Ряд Фурье по любой ортогональной системе функций

Последовательность функций непрерывных на отрезке [a, b], называется ортогональной системой функции на отрезке [a, b], если все функции последовательности попарно ортогональны на этом отрезке, т. е. если

Система называется ортогональной и нормированной (ортонормированной) на отрезке [a, b],

если выполняется условие

Пусть теперь f(x) - любая функция непрерывная на отрезке [a, b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на отрезке [a, b] по ортогональной системе называется ряд:

коэффициенты которого определяются равенством:
n=1, 2, ....

Если ортогональная система функций на отрезке [a, b] ортонормированная, то в этом случаи

где n=1, 2, ....

Пусть теперь f(x) - любая функция, непрерывная или имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a, b]. Рядом Фурье такой функции f(x) на томже отрезке по ортогональной системе называется ряд:

,

Если ряд Фурье функции f(x) по системе (1) сходится к функции f(x) в каждой ее точке непрерывности, принадлежащей отрезку [a, b]. В этом случае говорят что f(x) на отрезке [a, b] разлагается в ряд по ортогональной системе (1).

Комплексная форма ряда Фурье

Выражение называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если определяется равенством , где

Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:

(n=1, 2, ... . )
Задача о колебании струны

Пусть в состоянии равновесия натянута струна длинной l с концами x=0 и x=l. Предположим, что струна выведена из состояния равновесия и совершает свободные колебания. Будем рассматривать малые колебания струны, происходящие в вертикальной плоскости.

При сделанных выше допущениях можно показать, что функция u(x, t) , характеризующая положение струны в каждый момент времени t, удовлетворяет уравнению (1) , где а - положительное число.

Наша з а д а ч а - найти функцию u(x, t) , график которой дает форму струны в любой момент времени t, т. е. найти решение уравнения (1) при граничных: (2)

и начальных условиях:
(3)

Сначала будем искать решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Нетрудно увидеть, чтоu(x, t)0 является решением уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям(2). Будем искать решения, не равные тождественно 0, представимые в виде произведенияu(x, t)=X(x)T(t), (4) , где , . Подстановка выражения (4) в уравнение (1) дает:

Из которого наша задача сводится к отысканию решений уравнений:

Используя это условие X(0)=0, X(l)=0, докажем, что отрицательное число, разобрав все случаи. a) Пусть Тогда X”=0 и его общее решение запишется так:

откуда и , что невозможно , так как мы рассматриваем решения, не обращающиеся тождественно в нуль.

    б) Пусть . Тогда решив уравнение
    получим , и, подчинив, найдем, что
    в) Если то
    Уравнения имеют корни :
    получим:
    где -произвольные постоянные. Из начального условия найдем:
    откуда , т. е.
    (n=1, 2, ....)
    (n=1, 2, ....).
    Учитывая это, можно записать:
    (n=1, 2, ....).
    и, следовательно
    , (n=1, 2, ....),
    но так как A и B разные для различных значений n то имеем
    , (n=1, 2, ....),

где и произвольные постоянные, которые попытаемся определить таким образом, чтобы ряд удовлетворял уравнению (1), граничным условиям (2) и начальным условиям (3). Итак, подчиним функцию u(x, t) начальным условиям, т. е. подберем и так , чтобы выполнялись условия

Эти равенства являются соответственно разложениями функций и на отрезки [0, l] в ряд Фурье по синусам. ( Это значит что коэффициенты будут вычисляться как для нечетной функций). Таким образом, решение о колебании струны с заданным граничными и начальными условиями дается формулой

    где
    (n=1, 2, ....)
    Интеграл Фурье

Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье. Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:

1) абсолютной интегрируемости на
(т. е. интеграл сходится)

2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой

3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функцииf(x) Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:

    , где ,
    .
    Интеграл Фурье для четной и нечетной функции

Пусть f(x)-четная функция, удовлетворяющая условиям представимости интегралом Фурье. Учитывая, что , а также свойство интегралов по симметричному относительно точки x=0 интервалу от четных функций, из равенства (2) получаем: (3)

Таким образом, интеграл Фурье четной функции f(x) запишется так: ,

где a(u) определяется равенством (3).

Рассуждая аналогично, получим, для нечетной функции f(x) : (4)

и, следовательно, интеграл Фурье нечетной функции имеет вид: ,

    где b(u) определяется равенством (4).
    Комплексная форма интеграла Фурье
    , (5)
    где
    .

Выражение в форме (5) является комплексной формой интеграла Фурье для функции f(x). Если в формуле (5) заменить c(u) его выражением, то получим: , где правая часть формулы называется двойным интегралом

Фуpье в комплексной форме. Переход от интеграла Фурье в комплексной форме к интегралу

в действительной форме и обратно осуществим с помощью формул:

    Формулы дискретного преобразования Фурье
    Обратное преобразование Фурье.
    где n=1, 2, .... , k=1, 2, ....

Дискретным преобразованием Фурье - называется N-мерный вектор

    при этом, .
    ГЛАВА 2
    ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
    Разложение функций в тригонометрический ряд Фурье
    Исходные данные :
    (Рис. 1)

Функция периодическая с периодом . ( f(x+T)=f(x) ) Функция имеет на промежутке конечное число точек разрыва первого рода. Сумма ряда в точках функции сходится к значению самой функции, а в точках разрыва к величине, где -точки разрыва.

Рис. 1

Производная также непрерывна везде, кроме конечного числа точек разрыва первого рода. Вывод: функция удовлетворяет условию разложения в ряд Фурье.

1) F(x) - кусочно-непрерывна на интервале .
2) F(x) - кусочно-монотонна.

Так как отсутствует симметрия относительно OY, а также центральная симметрия то рассматриваемая функция произвольна.

Представление функции рядом Фурье.

Из разложения видим, что при n нечетном принимает значения равные 0 , и дополнительно надо рассмотреть случай когда n=1.

    Поэтому формулу для можно записать в виде:
    ( так как ).
    Отдельно рассмотрим случай когда n=1:
    .
    Подставим найденные коэффициенты в получим:
    и вообще
    .
    Найдем первые пять гармоник для найденного ряда:
    1-ая гармоника ,
    2-ая гармоника ,
    3-ая гармоника ,
    4-ая гармоника ,
    5-ая гармоника ,

и общий график F(x), сумма выше перечисленных гармоник. и сами гармоники.

Запишем комплексную форму полученного ряда

Для рассматриваемого ряда получаем коэффициенты (см. теорию)

,

но при не существует, поэтому рассмотрим случай когда n=+1 :

    (т. к. см. разложение выше)
    и случай когда n=-1:
    (т. к. )
    И вообще комплексная форма:
    или
    или