Проблема выбора средней величины - (курсовая)
p>Для ее раскрытия используем правило Лопиталя и найдем (lim (ln X)) как предел отношения производных по k числителя и знаменателя в правой части равенства При k ® 0Таким образом, при k= 0,
после потенцирования
При К = 1 получим среднюю арифметическую:
При К=2 среднюю квадратическую:
и т. д. для любой степени.
Приведенные выше формулы простыхсредних применяются в случае, если индивидуальные значения усредняемого признака не повторяются.
Однако, когда в практических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаются несколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторения индивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулах степенных средних. В этом случае они называются формуламивзвешенных средних и имеют и имеют следующий вид: средняя гармоническая:
средняя геометрическая:
средняя арифметическая:
средняя квадратическая:
где fi - частота повторения индивидуального значения признака (его вес) Весом может быть частость, т. е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот:
Известно, что степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени К, тем больше и величина соответствующей средней:
Это свойства степенных средних возрастать с повышением показателя степени определяющей функции называетсямажорантностью средних.
К средним величинам, кроме степенных средних, относят также моду и медиану. Для вычисления степенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
Например, выборочное обследование в одном из районов Москвы 12 коммерческих пунктов обмена валюты позволило зафиксировать различные цены за доллар при его продажи (данные на 10 октября 1995 г. при биржевом курсе доллара— 4493 руб. )
Таблица 2
№пункта обмены валют
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
цена за один долл. /руб
4500
4560
4540
4535
4550
4500
4560
4570
4560
4560
4570
450
В силу того, что данными об объеме продаж в каждом обменном пункте мы не располагаем, расчет средней арифметической с целью определения средней цены за доллар нецелесообразен. Однако можно определить то значение признака, которое делит единицы ранжированного ряда на две части. И такое значение носит названиемедианы.
Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам. Расчет медианы по несгруппированным данным производится следующим образом: 1. расположим индивидуальные значения признака в возрастающим порядке: Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х6
Х7
Х8
Х9
Х10
Х11
Х12
4500
4500
4500
4535
4540
4550
4560
4560
4560
4560
4570
4570
2. определим порядковый номер медианы по формуле:
В нашем случае:
Это означает, что медиана в данном случае расположена между шестым и седьмым значениями признака в ранжированном ряду, т. к. ряд имеет четное число индивидуальных значений. Таким образом, Ме равна средней арифметической из соседних значений: 4550, 4560.
3. Рассмотрим порядок вычисления медианы в случае не четного числа индивидуальных значений.
Допустим, мы наблюдали не 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда ранжированный ряд будет выглядеть следующим образом (отбрасываем 12 пункт): Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х6
Х7
Х8
Х9
Х10
Х11
4500
4500
4500
4535
4540
4550
4560
4560
4560
4560
4570
Находим номер медианы:
,
на шестом месте стоит Х = 4560, который и являются медианой Ме = 4560 руб. Мода —Это наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствует определенному значению признака. В нашем случае модальной ценной за доллар можно назвать 4560 руб. это значение повторяется 4 раза, чаще, чем все другие. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным. Определить величину моды в первичном ряду в точном соответствии с данными правилом возможно только при достаточно большом количестве наблюдений и при условии, что одно из индивидуальных значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности повторяется значительно чаще, чем все другие значения.
Методология расчета моды и медианы по сгруппированным данным рассмотрим по таблице.
Таблица 3
Группировка банков по величине их прибыли
(данные 1994 года)
Размер прибыли, млрд. руб.
Число банков
1
2
3, 7 — 4, 6
2
4, 6 — 5, 5
4
5, 5 — 6, 4
6
6, 4 — 7, 3
5
7, 3 — 8, 2
3
Итого
20
Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности —для данного ряда распределения. В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться только мода или медиана. Для определения их величины используются следующие формулы:
где ХMe — нижняя граница медианного интервала;
h — величина интервала;
S(-1) — накопленная частота интервала, предшествующего медианному; fMe — частота медианного интервала.
где Х — начало модального интервала;
fMo — частота, соответствующая модальному интервалу;
f(-1) — предмодальная частота;
f(+1) — послемодальная частота.
Используя данные примера, приведенные в таблице 3, рассчитаем медиану. По накопленным частотам определяем, что медиана находится в интервале 5, 5— 6, 4. Тогда
Таким образом, 50 % банков имеют прибыль менее 6, 175 млрд. руб, а 50 % банков более 6, 175 млд. руб.
Наибольшая частота соответствует также интервалу 5, 5 —6, 4, т. е. мода должна находится в этом интервале. Приведенная формула моды может быть использована в вариационных рядах с равными интервалами.
Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречается размер прибыли 6, 10 млрд. руб.
СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ДРУГИЕ СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ. В статистической практике из всех перечисленных видов средних чаще всего используется средняя арифметическая. Ее расчет осуществляется по-разному для несгруппированных и сгруппированных данных. Рассмотрим пример. Требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6, 4, 5, 3, 3, 5, 5, 6, 3, 7, 4, 5.
Как видно, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т. е. она может принимать такое числовое значения, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака. Под средней арифметической понимается такое значение признака, которое имело бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.
Отметим, что в этом примере одно и тоже значение признака встречается несколько раз. Объединив данные по величине признака и подсчитав число случаев повторения каждого из них, проведем расчет среднего стажа по сгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.
Таблица 4
Стаж работы, годы
3
4
5
6
7
Итого
Количество работников, человек
3
2
4
2
1
12
