Применение алгоритма RSA для шифрования потоков данных - (диплом)
p>то единственное условие на выбор показателя степени в отображении (1) есть . (7)Итак, лицо, заинтересованное в организации шифрованной переписки с помощью схемы RSA, выбирает два достаточно больших простых числа и . Перемножая их, оно находит число . Затем выбирается число , удовлетворяющее условиям (7), вычисляется с помощью (6) число и с помощью (3) - число . Числа и публикуются, число остается секретным. Теперь любой может отправлять зашифрованные с помощью (1) сообщения организатору этой системы, а организатор легко сможет расшифровывать их с помощью (5).
Для иллюстрации своего метода Ривест, Шамир и Адлеман зашифровали таким способом некоторую английскую фразу. Сначала она стандартным образом (а=01, b=02, ...... z=26, пробел=00) была записана в виде целого числа, а затем зашифрована с помощью отображения (1) при
m=11438162575788886766932577997614661201021829672124236256256184293570 6935245733897830597123563958705058989075147599290026879543541 и . Эти два числа были опубликованы, причем дополнительно сообщалось, что . где и - простые числа, записываемые соответственно 64 и 65 десятичными знаками. Первому, кто расшифрует соответствующее сообщение
,
была обещана награда в 100$.
Эта история завершилась спустя 17 лет в 1994 г. , когда D. Atkins, M. Graff, А. К. Lenstra и Р. С. Leyland сообщили о расшифровке фразы. Числа и оказались равными ,
.
Этот замечательный результат (разложение на множители 129-значного десятичного числа) был достигнут благодаря использованию алгоритма разложения чисел на множители, называемого методом квадратичного решета. Выполнение вычислений потребовало колоссальных ресурсов. В работе, возглавлявшейся четырьмя авторами проекта, и продолжавшейся после предварительной теоретической подготовки примерно 220 дней, на добровольных началах участвовало около 600 человек и примерно 1600 компьютеров, объединённых сетью Internet. Наконец, отметим, что премия в 100$ была передана в Free Software Foundation.
2. 2. Сложность теоретико-числовых алгоритмов
Сложность алгоритмов теории чисел обычно принято измерять количеством арифметических операций (сложений, вычитаний, умножений и делений с остатком), необходимых для выполнения всех действий, предписанных алгоритмом. Впрочем, это определение не учитывает величины чисел, участвующих в вычислениях. Ясно, что перемножить два стозначных числа значительно сложнее, чем два однозначных, хотя при этом и в том, и в другом случае выполняется лишь одна арифметическая операция. Поэтому иногда учитывают ещё и величину чисел, сводя дело к так называемым битовым операциям, т. е. оценивая количество необходимых операций с цифрами 0 и 1, в двоичной записи чисел. Говоря о сложности алгоритмов, мы будем иметь в виду количество арифметических операций. При построении эффективных алгоритмов и обсуждении верхних оценок сложности обычно хватает интуитивных понятий той области математики, которой принадлежит алгоритм. Формализация же этих понятий требуется лишь тогда, когда речь идёт об отсутствии алгоритма или доказательстве нижних опенок сложности. Приведем теперь примеры достаточно быстрых алгоритмов с опенками их сложности. Здесь и в дальнейшем мы не будем придерживаться формального описания алгоритмов, стараясь в первую очередь объяснить смысл выполняемых действий.
Следующий алгоритм вычисляет за арифметических операций. При этом, конечно, предполагается, что натуральные числа и не превосходят по величине . 2. 2. 1. Алгоритм вычисления
Представим в двоичной системе счисления , где , цифры в двоичном представлении, равны 0 или 1, . Положим и затем для вычислим
.
3) есть искомый вычет .
Справедливость этого алгоритма вытекает из сравнения
,
легко доказываемого индукцией по .
Так как каждое вычисление на шаге 2 требует не более трёх умножений по модулю и этот шаг выполняется раз, то сложность алгоритма может быть оценена величиной . Второй алгоритм - это классический алгоритм Евклида вычисления наибольшего общего делителя целых чисел. Мы предполагаем заданными два натуральных числа и и вычисляем их наибольший общий делитель . 2. 2. 2. Алгоритм Евклида
Вычислим - остаток от деления числа на , , .
Если , то есть искомое число.
Если , то заменим пару чисел парой и перейдем к
шагу 1.
Теорема 1. При вычислении наибольшего общего делителя с помощью алгоритма Евклида будет выполнено не более операций деления с остатком, где есть количество цифр в десятичной записи меньшего из чисел и . Доказательство. Положим и определим - последовательность делителей, появляющихся в процессе выполнения шага 1 алгоритма Евклида. Тогда .
Пусть также , , , , - последовательность Фибоначчи. Индукцией по от до легко доказывается неравенство . А так как , то имеем неравенства и . Немного подправив алгоритм Евклида, можно достаточно быстро решать сравнения при условии, что . Эта задача равносильна поиску целых решений уравнения . 2. 2. 3. Алгоритм решения уравнения
0) Определим матрицу .
1) Вычислим - остаток от деления числа на , , .
Если , то второй столбец матрицы даёт вектор
решений уравнения.
Если , то заменим матрицу матрицей .
Заменим пару чисел парой и перейдем к шагу 1.
Если обозначить через матрицу , возникающую в процессе работы алгоритма перед шагом 2 после делений с остатком (шаг 1), то в обозначениях из доказательства теоремы 1 в этот момент выполняется векторное равенство. Поскольку числа и взаимно просты, имеем , и это доказывает, что алгоритм действительно даёт решение уравнения . Буквой мы обозначили количество делений с остатком, которое в точности такое же, как и в алгоритме Евклида. Три приведённых выше алгоритма относятся к разряду так называемых полиномиальных алгоритмов. Это название носят алгоритмы, сложность которых оценивается сверху степенным образом в зависимости от длины записи входящих чисел. Если наибольшее из чисел, подаваемых на вход алгоритма, не превосходит, то сложность алгоритмов этого типа оценивается величиной , где - некоторая абсолютная постоянная. Во всех приведённых выше примерах . Полиномиальные алгоритмы в теории чисел - большая редкость. Да и опенки сложности алгоритмов чаше всего опираются на какие-либо не доказанные, но правдоподобные гипотезы, обычно относящиеся к аналитической теории чисел. Для некоторых задач эффективные алгоритмы вообще не известны. Иногда в таких случаях все же можно предложить последовательность действий, которая, “если повезет”, быстро приводит к требуемому результату. Существует класс так называемых вероятностных алгоритмов, которые дают правильный результат, но имеют вероятностную опенку времени работы. Обычно работа этих алгоритмов зависит от одного или нескольких параметров. В худшем случае они работают достаточно долго. Но удачный выбор параметра определяет быстрое завершение работы. Такие алгоритмы, если множество “хороших”значений параметров велико, на практике работают достаточно эффективно, хотя и не имеют хороших опенок сложности.
Мы будем иногда использовать слова детерминированный алгоритм, чтобы отличать алгоритмы в обычном смысле от вероятностных алгоритмов.
Как пример, рассмотрим вероятностный алгоритм, позволяющий эффективно находить решения полиномиальных сравнений по простому модулю. Пусть — простое число, которое предполагается большим, и - многочлен, степень которого предполагается ограниченной. Задача состоит в отыскании решений сравнения . (8)
Например, речь может идти о решении квадратичных сравнений, если степень многочлена равна 2. Другими словами, мы должны отыскать в поле все элементы, удовлетворяющие уравнению . Согласно малой теореме Ферма, все элементы поля являются однократными корнями многочлена . Поэтому, вычислив наибольший общий делитель , мы найдем многочлен , множество корней которого в поле совпадает с множеством корней многочлена , причем все эти корни однократны. Если окажется, что многочлен имеет нулевую степень, т. е. лежит в поле , это будет означать, что сравнение (8) не имеет решений. Для вычисления многочлена удобно сначала вычислить многочлен , пользуясь алгоритмом, подобным описанному выше алгоритму возведения в степень (напомним, что числопредполагается большим). А затем с помощью аналога алгоритма Евклида вычислить. Всё это выполняется за полиномиальное количество арифметических операций. Таким образом, обсуждая далее задачу нахождения решений сравнения (8), мы можем предполагать, что в кольце многочленов справедливо равенство
2. 2. 4. Алгоритм нахождения делителей многочлена в кольце
1) Выберем каким-либо способом элемент .
Вычислим наибольший общий делитель .
Если многочлен окажется собственным делителем , то многочлен распадётся на два множителя и с каждым из них независимо нужно будет проделать все операции, предписываемые настоящим алгоритмом для многочлена.
4) Если окажется, что или , следует перейти к шагу 1 и. выбрав новое значение , продолжить выполнение алгоритма. Количество операций на шаге 2 оценивается величиной , если вычисления проводить так, как это указывалось выше при нахождении . Выясним теперь, сколь долго придётся выбирать числа , пока на шаге 2 не будет найден собственный делитель . Количество решений уравнения в поле не превосходит . Это означает, что подмножество элементов , удовлетворяющих условиям ,
состоит не менее, чем из элементов. Учитывая теперь, что каждый ненулевой элемент удовлетворяет одному из равенств , либо , заключаем, что для одно из чисел будет корнем многочлена , а другое - нет. Для таких элементов многочлен , определённый на шаге 2 алгоритма, будет собственным делителем многочлена . Итак, существует не менее “удачных” выборов элемента , при которых на шаге 2 алгоритма многочлен распадётся на два собственных множителя. Следовательно, при “случайном” выборе элемента , вероятность того, что многочлен не разложится на множители после повторений шагов алгоритма 1-4. не превосходит . Вероятность с ростом убывает очень быстро. И действительно, на практике этот алгоритм работает достаточно эффективно.
