Быстрый поиск

Приближенное вычисление корней в уравнения - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Приближенное вычисление корней в уравнениях
    Содержание.
    Приближённое решение уравнений :
    1. 1 Способ хорд (или способ линейной интерполяции).
    Способ касательных (или способ Ньютона).

Комбинированный способ (комбинированное применение способов хорд и касательных).

    Заключение.
    Список литературы.
    Приближённое решение уравнений.

Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней. Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют малую практическую ценность.

В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого простого по виду уравнения, как:

х^5-4х-2=0

Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения уравнений алгебраических и неалгебраических (или, как их называют, трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.

На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет идти о вычислении действительных корней.

Пусть нужно решить уравнение:
f(x)=0 (1)

Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)

C осью Ох (рисунок №1)

С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью. Об этом и пойдёт речь. Итак, пусть корень Е уравнения (1) "зажат" между двумя его приближениями а и b по недостатку и по избытку а< E
Способ хорд (или способ линейной интерполяции).

Проведём хорду АВ (рисунок№3) и за первое приближённое значение корня примем абсциссу x1 точки С пересечения хорды с осью Ох.

    Уравнение хорды имеет вид:
    y-f(a)/f(b)-f(a)=x-a/b-a.
    Поэтому в точке С:
    -f(a)/f(b)-f(a)= x1-a/b-a
    откуда:
    x1=a- (b-a)*f(a)/ f(b)-f(a)

Рассмотрение всех четырёх случаев, изображённых на рисунке №2, показывает, что точка x1 лежит между a и b с той стороны от Е, где f(х) имеет знак, противоположный знаку f``(х).

Остановим внимание на первом случае: f`(х)>0, f``(х)>0 (рисунок №3), - в остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В этом первом случае x1 лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы поступаем с отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом для нового приближённого значения корня получаем:

x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)

( в формуле (2) заменяем x1 на x2, а на x1 ); значение x2 оказывается между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b] и находим новое приближённое x3, заключённое между x2 и Е и. т. д. В результате получим последовательность а
хn+1= xn-(b- xn)*f(xn)/f(b)-f(xn) (4)

Для оценки погрешности соответсвующих приближений воспользуемся формулой Лагранжа:

    f(xn)-f(E)=f`(c)*( xn-E) (xn    или, поскольку
    f(E)=0: f(xn)=f`(c)( xn-E),
    откуда:
    xn-Е= f(xn)/ f`(c)

Если обозначить через m наименьшее значение |f`(х)| на рассматриваемом отрезке, то для оценки погрешности получим формулу:

|xn-E|

Эта формула, заметим, совершенно не связана со способом отыскивания величин xn и, следовательно, приложила к приближённым значениям корня, получаемым любым методом. Формула (5) позволяет судить о близости xn к Е по величине значения f(xn). Однако в большинстве случаев она даёт слишком грубую оценку погрешности, т. е. фактическая ошибка оказывается значительно меньше.

Легко доказать, что последовательность приближений:
x1, x2, x3, …xn, … (6)

для корня Е, получаемых по способу хорд, всегда сходится к Е. Из случая, рассматривающегося выше, мы видим, что последовательность (6) - монотонная и ограниченная. Поэтому она имеет некоторый предел n
n=n-(b-n)f(n)/f(b)-f(n)

откуда F(n)=0. Так как f(x) возрастает на отрезке [a, b], то уравнение f(х)=0 имеет единственный корень, и этим корнем по условию является Е. Поэтому n=E, т. е. lim xn=E.

Пример № 1. Методом хорд найдём положительный корень уравнения х^4-2х-4=0

с точностью до 0, 01.
Решение:

Положительный корень будет находиться в промежудке (1; 1, 7), так как f(1)=-50

Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
х1=1-91, 7-1)* f(1)/ f(1, 7)- f(1)=1, 588;

так как f(1, 588)=-0, 817

х2= 1, 588-(1, 7-1, 588) f(1, 588)/ f(1, 7)- f(1, 588)=1, 639;

f(1, 639)=-0, 051 Теперь найдём третье приближённое значение:

х3=1, 639-(1, 7-1, 639) f(1, 639)/ f(1, 7)- f(1, 639)=1, 642;

f(1, 642)=-0, 016 Теперь найдём четвёртое приближённое значение:

х4=1, 642-(1, 7-1, 642) f(1, 642)/ f(1, 7)- f(1, 642)=1, 643;

f(1, 643)=0, 004>0

Следовательно, искомый корень с точностью до 0, 01 равен 1, 64.

1. 2 Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги АВ (рисунок №5), в котором знаки f(х) и f``(х) совпадают, проводим касательную и за первое приближённое значение корня принимаем абсциссу х1` точки Д пересечения этой касательной с осью Ох. Обратимся вновь к первому случаю, соответствующему первому рисунку №2 (f`(x)>0, f``(x)>0), - в остальных случаях рассуждают опять-таки аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:

    y-f(b)=f`(b)(x-b),
    и поэтому в точке Д:
    -f(b)=f`(b)(x1`-b),
    откуда:
    x1`=b-f(b)/f`(b).

Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a, x1`] поступаем так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок №5), и в результате для нового приближённого значения корня получим:

х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).

Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем отрезок [a, х2`] и находим новое приближение х3` и т. д. В результате получим последовательность: b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)

все более точных приближённых значений корня, причём:
xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)

Эта формула справедлива для всех четырёх случаев, изображённых на рисунке 32. Для оценки погрешностей полученных приближений можно опять воспользоваться формулой (5), как и в первом случае, легко устанавливается сходимость последовальности x1`, х2`, х3`, …, xn`, … к значению Е

Пример №2. Методом касательных найдём положительный корень уравнения x^4-2x-4=0

с точностью до 0, 01.
Решение:

В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2, а f``(х)=12x^2. Так как f(х) и f``(х) при х0 = 1, 7 имеют один и тот же знак, а именно:

f(1, 7)=0, 952>0 и f``(1, 7)>0, то применяем формулу:

x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1, 7)=4*1, 7^3-2=17, 652. Тогда x1=1, 7- 0, 952/17, 652=1, 646.

Применяем второй раз способ касательных:

х2= x1- f(x1)/ f` (x1), где f(x1)= f(1, 646)=0, 048, f` (1, 646) =15, 838; x^2=1, 646-0, 048/15, 838=1, 643;

f(1, 643)=0, 004, f` (1, 643)=15, 740;
х3=1, 643-0, 004/15, 740=1, 6427.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0, 01 равен 1, 64.

1. 3 Комбинированный способ
(комбинированное применение способов хорд и касательных).

Этот способ состоит в одновременном использовании способов хорд и касательных. Остановим своё внимание опять на случае, отвечающем первому рисунку №2. Значения x1 и x1`, вычисляем по прежним формулам, т. е. принимаем: x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a), (10)

x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1

Теперь вместо отрезка [a, b]рассматриваем отрезок [x1, x1`] (рисунок №6). Это даёт:

    х2= x1-( x1`- x1)f(x1)/f(x1`)-f(x1),
    х2`=x1`- f(x1)/f(x1`), причём х2    Далее рассматриваем отрезок [х2, х2`] и т. д.
    В результате получаем:
    хn

хn+1= xn-( xn`- xn)f(xn)/f(xn`)-f(xn), а хn+1`= xn`-f(xn`)/f`( xn`) (11) В данном случае мы приближаемся к корню сразу с обеих сторон (рисунок №6), а не с одной стороны, как в способе хорд и способе касательных. Поэтому разность xn`- xn позволяет судить о качестве полученных приближений, и никакие формулы для оценки здесь не нужны.

Пример№3. Комбинированным способом способом вычислим с точностью до 0, 0005 положительные корни уравнения

X^5-x-0, 2=0

Решение: График многочлена f(x)= X^5-x-0, 2 для х>0 изображён на рисунке №7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет положительный единственный корень, лежащий на отрезке 10, f``(x)>0 т. е. знак производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:

f(a)=f(1)=-0, 2, f(b)=f(1, 1)=0, 31051, f`(b)=f`(1, 1)=6, 3205.

    Формулы (10) дают:
    x1=1+0, 1*0, 2/0, 51051=1, 039,
    x1`=1, 1-0, 31051/6, 3205=1, 051

При этом x1`- x1=0, 012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй шаг: f(1, 039)=-0, 0282; f(1, 051)=0, 0313, f`(1, 051)=5, 1005.

По формулам(11):

х2=1, 039=0, 012*0, 0282/0, 0595=1, 04469, х2`=1, 051-0, 0313/5, 1005=1, 04487. При этом х2`- х2=0, 00018, т. е. точность достаточна. Таким образом: 1, 04469

Любое из фигурирующих здесь чисел можно взять за приближённое значение Е, причём ошибка не превзойдёт 0, 00018.