Быстрый поиск

Подборка основных формул по курсу функциональный анализ по материалам лекции Бекаревой Н.Д. - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. "e "xОE $u: ¦x-u¦

Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства. Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП LМE, "eО(0, 1) $zeОE\L ¦ze¦=1 r(ze, L)>1-e Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.

Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.

Определение: Гильбертово пространство –нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.

Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.

Определение: L плотное в E, если "xОE $uОL: ¦x-u¦

Теорема: Чтобы L было плотно в H у ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента. Определение: Сепарабельное –нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.

Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства. Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy Определение: Непрерывный оператор – AxаAx0 при xа x0

Определение: L(X, Y) – пространство линейных операторов

Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A –непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.

Определение: Ограниченный оператор - "¦x¦? 1 $с: ¦Ax¦? c
Теорема: A – ограниченный у "xОX ¦Ax¦? c¦x¦

Теорема: Для того чтобы А был непрерывен у чтобы он была ограничен Теорема: {An} равномерно ограничена и {An}- ограничена.

Теорема: {Anx} – ограниченно у {¦An¦}- ограничена.

Определение: Сильная (равномерная) сходимость ¦An-A¦а0, nаҐ, обозначают AnаA Определение: Слабая сходимость - "xОX ¦(An-A)x¦Yа0, nаҐ

Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость у {An} сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1 Теорема: Банаха-Штенгауза AnаA nаҐ слабо и 1) {¦An¦}- ограничена 2) AnаA, x’МX, x’=x Теорема: Хана Банаха. A: D(A)аY, D(A)МX и $ A’: XаY 1) A’x=Ax, xОD(A) 2) ¦A’¦=¦A¦ Определение: Равномерная ограниченность - $a "x: ¦x(t)¦? a

Определение: Равностепенная непрерывность "t1, t2 $d: ¦x(t1)-x(t2)¦
Определение: Ядро – xОX

Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X*: =L(X, E) Определение: Сопряженный оператор A*: Y*аX*

Теорема: Банаха A: XаY и X, Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A-1 и ограничен. Определение: Оператор А – обратимый

Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A-1-ограничен. Теорема: A-1 $ и ограничен у $m>0 "xОX ¦Ax¦? m¦x¦

Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f: XаY – линейный ограниченный функционал и $! yОH "xОH f(x)=(x, y) Определение: MМX называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность. Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.

Теорема: Хаусдорфа. MМX компактно у "e>0 $ конечная e-сеть Теорема: Арцела. MМC[a, b] компактно у все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y. Определение: s(X, Y) – подпространство компактных операторов Теорема: Шаудера. AОs(X, Y) у A*Оs(X*, Y*)

    Линейные нормированные пространства
    Пространства векторов
    сферическая норма
    кубическая норма
    ромбическая норма
    p>1
    Пространства последовательностей
    p>1
    или пространство ограниченных последовательностей
    пространство последовательностей, сходящихся к нулю
    пространство сходящихся последовательностей
    Пространства функций
    пространство непрерывных на функций
    пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций

Јp[a, b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово) - пополнение Јp[a, b] (Гильбертово)

Неравенство Гёльдера p, q>0
Неравенство Минковского