Быстрый поиск

Отображение геометрических структур - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Отображение геометрических структур
ABSTRACT

Mapping geometrical arrangements of a fiber space of differential equations, bound mapping ofHopf-Colle is under construction.

Устанавливается изоморфизм отображений Хопфа-Коула (Hopf E, Cole J. D. ) [ 1, 2 3 ] и отображенийгеометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями. Имеется проблема.

В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать физическую информацию в основном о системах космических и галактических масштабов: релятивистская теория гравитации (ОТО) и новая релятивистская теория гравитации (РТГ), в которых определяется“метрический тензор риманового пространства”. Но геометрия –раздел математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики. Примером может служить интегральное исчисление, которое широко используется во всех разделах физики.

С помощью метрического тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные переносы, определяют ковариантные производные и связности… Итак, посредством определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы, например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике, определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности. Каков физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ– это гравитационные потенциалы! В материальном мире реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно, агеометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов физики.

Геометрические действия с соответствующей метрикой возможно тольков рамках соответствующей связи. При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений. Введение тензоров (скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга) производитсятолькоотносительно соответствующих преобразований обобщенных координат. В физике вводятся многомерные пространства внутренних степеней свободы. Примером пространства внутренних степеней свободы в физике может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе преобразований координат изотопического пространства. В пространстве внутренних степеней свободы вводятся обобщенные базовые и слоевые координаты.

В качестве демонстрации данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача.

Отображение Хопфа-Коуласвязывает два дифференциальных уравнения и их решения [ 1, 2, 3 ]: нелинейное уравнениеБюргерса[ 4 ] и уравнение теплопроводности (диффузии). Эти уравнения отображают соответствующие связи. Этих уравнений мы рассматриваем частные случаи (демонстрируется сам принцип) и обобщаем их на слоевые пространства. Нелинейное уравнение (3) (см. Табл. ) получено из уравнения типа уравненияБюргерса в классе решений т. е. (1)

    с использованием отображения (2) [ 5 ]:
    Отображение геометрических структур
    Таблица
    Дифференциальное уравнение типа уравнения теплопроводности
    (3)
    -постоянные.
    - длина вектора в пространстве
    - постоянная интегрирования.
    (5)
    (10)
    (12)
    (5’)

Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула (2)

    - постоянные.
    слоевые пространства
    слоевые координаты
    метрические функции
    решение дифференциальных уравнений
    дифференциальные уравнения для метрической функции
    решения дифференциальных уравнений для метрических функций
    отображение Хопфа-Коула для метрических функций
    (7)
    ковариантные слоевые координаты
    составляющие метрического
    тензора
    однородные степени нуль в слоевых координатах.
    коэффициенты связностей
    однородные степени – 1 в слоевых координатах
    .
    длина векторов
    условие Эйлера
    выполнение свойства
    (14)
    дважды ковариантные составляющие метрического тензора

Уравнение, следующее из нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса

    (4)
    - постоянные
    - длина вектора в
    пространстве
    где - постоянная интегрирования и
    (6)
    (9)
    (11)
    (13)
    (6’)
    )

Из Таблицы следует, что структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей сохраняется. Изменяется их конкретное содержание. ОтображенияХопфа-Коула меняют длину слоевых координат . Поскольку выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство (14), то коэффициенты связностей найдены правильно. Итак, 1)если связь задана дифференциальным уравнением вида (3), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (10) и метрикой (5), 2)если же связь задана нелинейным дифференциальным уравнением вида (4), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (11) и метрикой (6), которые могут быть получены отображениемХопфа-Коула (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Cole J. D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics/ Quart App. Vath. ,1951, 9, pp. 225-236.

2. Hopf T. The partial differential equation Comm. Pure Appl. Math. ,1950, pp/ 201-230. 3. Абловиц М. , Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Перевод с англ. -М. : Мир, 1987, 180 с.

4. Burgers J. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence/Adv. Appl. Mech, 1948, 1, pp. 171-199.

5. Севрюк В. П. Геометрии расслоенных пространств теории обобщенных криволинейных координат. ВИНИТИ , N 3378-B90 Деп. , 145 с.