Быстрый поиск

Основы математики - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Треугольник Паскаля. Его свойства. Бином Дяди Ньютона.
    1 C00
    1 1 C10 C11
    1 2 1 C20 C21 C22
    1 3 3 1 C30 C31 C32 C33
    1 4 6 4 1 C40 C41 C42 C43 C44

1 5 10 10 5 1 C50 C51 C52 C53 C54 C55 1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66 1 7 21 35 35 21 7 1

    1 8 28 56 70 56 28 8 1
    1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
    1. Свойства треугольника Паскаля:

1) В треугольнике Паскаля каждое число кроме крайних единиц равно сумме двух соседних в предыдущей строке.

2) Сумма чисел n-ой строки равна 2n, где n принадлежит целым чис лам.

3) Сумма чисел любой строки в два раза больше суммы чисел в пре дыдущей сроке.

4) Числа, равноудаленные от концов любой строки равны между собой. Сmn=Cmm-n

    2. Бином Ньютона.
    (a+b) - двучлен (бином)
    (a+b)0=1
    (a+b)1=a+b
    (a+b)2=C20a2 + C21ab + C22b2
    и т. д. ; )
    Свойства бинома Ньютона:
    1) Бином ньютона содержит n+1 слагаемых.

2) Биноминальные коэффициетнты, равноудаленные от концов равны между собой.

    3) Формулу бинома Ньютона можно записать символически:
    n
    (a + b)n = S Cnk. an-k. bk
    k=0
    4) Любой член можно выразить формулой: Tk+1=Cnk. an-k. bk
    5) Сумма биноминальных коэффициентов равна 2n.
    Метод математической индукции.
    Некоторое утверждение будет верно при любом n N, если:
    1) Оно верно при n=1;

2) Предположим, что оно верно при n=k и докажем, что оно верно при n=k+1.

Комбинаторика: Размещения и перестановки.

Определение: Группы составленные из каких-либо предметов отличаю щихся друг от друга предметами или порядком прелметов называются сое динениями.

    3 рода соединений:
    1) Размещения
    2) Перестеновки
    3) Сочетания
    Дано: (a, b, c) - 3 элемента.
    по одному: a, b, c.
    по два: ab, bc, ac, ba, cb, ca.
    по три: abc, acb, bca, bac, cab, cba.

1). Соединения, которые содержат n-элементов, отличающихся или поряд ком или элементом называются размещениями и обозначают: Amn, n, m ------------¬

    ¦ m! ¦
    ¦Amn= ------+
    ¦ (m-n)! ¦
    L-----------

2). Соединения, которые отличаются только только порядком называются перестановками.

    ------¬
    ¦Pm=m! ¦
    L-----

2). Сочетания, которые отличаются по крайней мере одним элементом на зываются сочетениями.

    --------------¬ Свойства числа сочетний:
    ¦ m! ¦ 1) Сmn=Cmm-n
    ¦Сmn= --------+ 2) Cmn+Cmn+1=Cm+1n+1
    ¦ (m-n)! n! ¦ 3) Cm0=1
    L-------------- 4) C00=0! =1
    Дифференцирование функций.
    Производная функции
    h=x-a - приращение аргумента
    f(a+h) - f(a) - приращение функции
    --------------------------------------¬
    ¦ f(a+h) - f(a)
    ¦k=lim ------------- = f'(x) или f'(a)
    ¦ h->0 h
    +-------------------------------------
    ¦f(a+h)-f(a)=(k+a). h
    L-------------------
    df = f'(x). dx - дифференциал функции.
    Примеры:
    1 1/(h+x)-1/x -h/(x(x+h))
    1) f(x)=- ; f'(x) = lim ----------- = lim ----------- =
    x h->0 h h->0 h
    1 1
    = lim ------- = --
    x(x+h) h2
    |\\ 1
    2) (x2)' = 2x; (ax+b)' = a; (? a )' = --
    2? x
    (ax2 + bx + c)' = 2ax + b; (x3)' = 3x2
    ----------------¬
    ¦(axn)' = n. xn-1¦
    L---------------
    Техника дифференцирования.

(fg)' = f'g + fg' Угловой коэффициент касательной в данной то (f + g) = f' + g' чке равен значению производной в данной точ ( f )' f'g + fg' ке.

¦ - ¦ = --------

9 g 0 g2 1) Функция монотонно убывает, там где произ водная отрицательна.

(fn)' = nfn-1f 2) Функция монотонно возрастает, там где про n|\\ 1 изводная положительна.

? f = -------- 3) Если производная равна нулю или не сущес n. n? f твует то в этих точках функция имеет локальные

экстремумы.

4) Чтобы найти экстремумы на данном интервале, то надо найти: а) Значение функции на краях промежутка;

 б) Экстремумы функции на данном промежутке;
 в) Сравнить полученные результаты и выбрать нужные.
 Дифференцирование тригонометрических функций.
 ---------------¬ ----------¬
 ¦ Sin x ¦ ¦ tg x ¦
 ¦ Lim ----- = 1¦ ¦Lim ---- ¦
 ¦x->0 x ¦ ¦x->0 x ¦
 L--------------- L---------
 (Sin x)' = Cos x
 (Cos x)' = -Sin x
 1 1
 (tg x)' = ----- ; (Ctg x)' = ----
 Cos2x Sin2x
 Спецкурс - " Уравнения и неравенства с параметрами ".
 " Исследование квадратного трехчлена "
 Теорема 1. --
 --------- ¦ а > 0,
 ¦ D . 0,
 ¦ x0 > M, ( a7f(M) > 0,
 M < x1 , x2 ¦ f(M) > 0, Б D . 0,
 =========== ¦ a < 0, 9 x0 > M.
 ¦ D . 0,
 ¦ x0 > M,
 ¦ f(M) < 0
 L-
 Теорема 2. --
 ---------- ¦ а > 0,
 ¦ D . 0,
 ¦ x0 < b, ( a7f(b) > 0,
 x1 , x2 0, Б D . 0,
 =========== ¦ a < 0, 9 x0 < b.
 ¦ D . 0,
 ¦ x0 < b,
 ¦ f(b) < 0
 L-
 Теорема 3. --
 --------- ¦ ( а > 0,
 ¦ 2 D . 0, a7f(b) > 0
 ¦ Б M < x0 < b, a7f(M) > 0,
 M < x1 , x2 0, D . 0,
 =============== ¦ 9 f(b) > 0, M < x0 0,
 ¦ Б f(M) > 0,
 ¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0

M < x1 0, =============== ¦ Б f(b) > 0,

 ¦ 9 f(M) < 0
 L-
 Теорема 5. --
 --------- ¦ ( а > 0,
 ¦ Б f(M) < 0,
 ¦ 9 f(b) > 0, a7f(b) > 0
 x1 < M < x2 0
 L-
 Теорема 6. --
 ---------- ¦ ( а > 0,
 ¦ Б f(M) < 0,
 ¦ 9 f(b) < 0, a7f(b) < 0

x1 < M 0,

 ¦ 9 f(M) > 0
 L-
 Теорема 7. --
 --------- ¦ а > 0,
 ¦ f(M) < 0,
 x1 < M < x2 ¦ a < 0, a7f(M) < 0,
 =========== ¦ f(M) > 0
 L-
 Числовая последовательность.

1). Числовая последовательность - такой ряд чисел, который занумеро ван с помощью натуральных чисел и обозначается {an} или (an) a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7.... an

f(n) - закон, по которому каждому номеру соответствует свой член последовательности. |\\ |\ |\ Последовательность называют возрастающей, если каждый член после довательности больше предыдущего, т. е. : если an+1>an, то (an)%. Последовательность называется убывающей, если каждый член после довательности меньше предыдущего, т. е. : если an+1
    an , M => (an) - ограниченная сверху.
    an . M => (an) - ограниченная снизу.
    2). Арифметическая прогессия [_]

Страницы: 1, 2