Нелинейные САУ - (курсовая)
Нелинейные САУ - (курсовая)
Дата добавления: март 2006г.
Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана
Курсовая работа по курсу “Нелинейные САУ”
на
тему:
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
Выполнил: ст-т гр. АК4-81
Смык В. Л.
Реутов 1997 г.
Применение метода частотных круговых диаграмм к исследованию устойчивости систем с логическими алгоритмами управления.
На ранней стадии развития теории автоматического регулирования требование устойчивости работы системы было первым и обычно единственным и содержание большинства теоретических исследований сводилось к иследованию устойчивости. “Термин “устойчивость” настолько выразителен, что он сам за себя говорит”, -отмечают в начале изложения теории устойчивости Ж. Ла Салль и С. Лефшец [1]. Это вполне справедливо, но, несмотря на это, неточности и нелогичности можно встретить как раз не в математических, а в смысловых понятиях и терминах.
Устойчивостью любого явления в обиходе называю его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохронять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим сабой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминалогии устойчивым называют не явление, а систему, в корой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар
устойчив, шар из дыма нет. ) Теорию управления интересует, однако, не эта прочнасная устойчивость. Подразумевается, что система управления как инженерная конструкция заведома устойчива, и в теории изучается устойчивость не самой системы, а ее состояний и функционирования. В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же жвижение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойцивым относительно другой - это отмечал еще А. М. Ляпунов [2]. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается. Так же есть много методов для оценки самой устойчивости. Мы рассмотрим как можно оценить устойчивость системы с логическим алгоритмом управления методом круговых диаграмм.
Рассмотрим теоретическую часть и посмотрим что из себя представляет круговой критерий. Пусть дана система
.
x=Ax+bx, s=c’x, (1)
где x и s- в общем случае векторы (и, следовательно, b и с - прямоугольные матрицы), а матрица А не имеет собственных значений на линейной оси. Предположим , что для некоторогоm, Ј m Ј
система (1), дополненая соотношением x=-ms, асимптотически усойчива. Для абсолютной экпоненциальной устойчивости системы (1) в классе М() нелинейностей x=j(s, t), удовлетворяющих условию
Ј j(s, t)/s Ј (2)
достаточно, чтобы при всех w, -Ґ
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0. (3)
Круговой критерий вытекает из квадратичного критерия для формы F(x, s)=(s-x)(x-s). Действительно, как было показано выше, форма F(jw, x) имеет вид F(jw, x)=-Re{[1+W(jw)][1+W(jw)]}|x|
Из этой формулы после сокращения на |x| следует (3).
В (3) №-Ґ , №+Ґ. Случай, когда либо =-Ґ, либо =+Ґ рассматривается аналогично. Круговой критерий представляет собой распространение линейных частотных критериев устойчивости Найквиста, Михайлова и других на линейные системы с одним линейным или нелинейным, стационарным или нестационарным блоком. Он получается из (3), если вместо передаточной матрицы использовать частотную характеристику линейной части W(jw).
Обозначая комплексную переменную W(jw)=z, рассмотрим систему с одной нелинейностью, удовлетворяющей одному из следующих условий:
Re[(1+z)(1+z)]Ј0, если №-Ґ , №+Ґ. (4)
Re[(1+z)z]Ј0, если №-Ґ , №+Ґ. (5)
Re[z(1+z)]Ј0, если №-Ґ , №+Ґ. (6)
Пусть С() - облость комплексной плоскости z, определяемая этими условиями. Граница В() области определяемая уравнениями получаемыми из (4)-(6) заменой знаков неравенств равенствами. Для (4) получаем окружность, проходящую через точки -1/, -1/ с центром на оси абсцисс, причем область С будет внутренностью этой окружности, если >0, т. е. если нелинейные характеристики лежат в 1 и 3 квадрантах, и ее внешностью, если сектор () захватывает два смежных квадранта. Если одна из границ сектора совпадает с осью абсцисс, т. е. если=0 или =0 , то область С будет полуплоскостью, а ее граница - вертикальной прямой, проходящей соответственно через -1/ или -1/. На рисунке 1 показаны границы в плоскости z для различного расположения секторов () в плоскости s, x. Там же изображены кривые W(jw), w>0 для неособого случая, расположенные так, что возможна абсолютная устойчивость. Однако только приемлимого расположения хаоактеристик W(jw) еще недостаточно для суждения об абсолютной устойчивости : кроме этого, нужно еще потребовать, чтобы линейная замкнутоя система была асимптотически устойчивой.
Круговой критерий обеспечивает также абсолютную устойчивость для системы с любым блоком, входs и выход x которого удовлетворяют для всех t неравенству (s-x)(x-s)і0 (7)
Рисунок 1, а.
Рассмотрим систему, приведенную на рис. 2.
А Х Y У (P) Z
(-)
G(p) g
Рисунок 2.
Здесь W(p) - оператор линейной части системы, которая может иметь в общем случае следущий вид:
W(p)=;
(8)
W(p)=;
Алгоритм регулятора имеет вид:
y=Yx,
при gx>0
Y= (9)
- при gx g=(
В форме уравнений Коши рассматриваемая система имеет вид:
=,
=-, (10)
k при g>0
где =
- k при g g=c+; =.
Соответствие записей системы на рис. 2 достигается, когда при W(p)= в уравнениях (10) имеем:
(11)
а при W(p)= имеем:
(12)
Причем для обоих случаев (11) и (12) имеет место соотношение (13)
В соответствии с изложенным одинаково справедливо рассматривать в виде структурной схемы на рис. 2 с известным линейными операторами - и G(p) или в виде формы Коши (10). Дополнительно отметим, что структурная интерпритация рассматриваемой системы на рис. 2 имеет еще одну структурную схему описания, приведенную на рис. 3. |x|=c
l g y z (-) x G(p) W(p)
Рисунок 3.
Это означает, что аналитической записи (10) соответствуют два структурных представления исследуемой СПС, причем второе позволяет рассматривать систему (10) как релейную систему с изменяемым ограничение, когда|x| - var.
Далее перейдем к анализу нашего метода.
Согласно частотной теоремы (10), для абсолютной устойчивости системы на рис. 3 лостаточно, чтобы при всехw, изменяющихся от - Ґ до + Ґ, выполнялось соотношение:
Re{[1+w)][1+W(jw)]}>0,
а гадограф mW(jw)+1 при соответствовал критерию Найквиста. Для исследуемой системы условие (3) удобнее записать в виде (4) и (5).
На рис. 4 приведенны возможные нелинейные характеристики из класса М() и годографы W(jw), расположенные таким образом, что согласно (4) и (5) возможна абсолютная устойчивость.
y ^
y=g ()
|x| y=g (при =0)
>
0
“а” “б”
“в” “г”
Рисунок 4.
В рассматриваемом случае (10) при
W(p)=, когда
W(p)= W(p)G(p), G(p)=p+1,
годограф W(jw) системы на рис. 5.
j
W(jw)
w=Ґ
> =
w=0
Рисунок 5.
В случае (10) справедливы графические формы на рис. 4 в, г, т. е. исследуемая система абсолютно устойчива в смысле кругового критерия (3) или (5) при > (14)
Интересно заметить, что достаточные условия абсолютной устойчивости по Ляпунову
а > 0 , y(t) > 0
и
a > c
для рассматриваемого случая совпадают с достаточными условиями абсолютной устойчивости, полученными для кругового критерия (14), если выполняется требование
y(t) > 0 (15)
поскольку, согласно (11) и (13) a=a=.
Докажем это, используя условия существования скользящего режима -kЈy(t)=ck
т. е. подставим сюда вместо коэфициентов а, с, и k их выражения через , , , тогда получим
-Јy(t)= Ј (16)
Согласно рис. 5 и условия (16) получаем:
1) при = , y(t)=0
2) при > , y(t)>0
3) при < , y(t) что и требовалось доказать.
Страницы: 1, 2
