Некоторые Теоремы Штурма - (диплом)
p>(проще проверить это непосредственно). Общее решение уравнения (2. 2) получается прибавлением к (2. 13) общего решения уравнения (2. 1), что дает . (2. 14)Если замкнутый ограниченный интервал [a, b] содержится в J, то, полагая , ,
мы получаем из (2. 14) частное решение
. (2. 15)
Оно может быть записано в виде
, (2. 16)
где
(2. 17)
матрица С (t) зависит от , но не зависит от их производных. В этом случае уравнение (2. 1) и эквивалентная ему система (2. 3) сводятся к системе . (2. 28)
(xii) Если известно частное решение уравнения (2. 27), не равное нулю на J, то мы можем определить линейно независимые решения с помощью квадратур (см. (ix)) и затем найти матрицу, входящую в (2. 28). В действительности, тот же результат можно получить более прямым путем. Пусть уравнение (2. 27) имеет решение на интервале J. Заменим неизвестную функцию и в (2. 1) на z, так что . (2. 29)
Функция z удовлетворяет дифференциальному уравнению
.
Умножая его на , мы получаем, что
(2. 30)
или, в силу (2. 27), что
, (2. 31)
т. е. подстановка (2. 29) приводит уравнение (2. 1) к (2. 30) или к (2. 31). Мы могли также начинать не с решения дифференциального уравнения (2. 27), а с функции , имеющей непрерывную производную и такой, что непрерывно дифференцируема. При этом определяется равенством (2. 27), так что . Подстановка (2. 29) будет называться также вариацией постоянных. (xiii) Подстановка Лиувилля. В качестве частного случая рассмотрим (2. 1) с р (t) = 1: и" + q (t) и = 0. (2. 32)
Предположим, что функция q (t) имеет непрерывную производную второго порядка, вещественна и не равна нулю, так что
±q (t) > 0, где ± = sgn q (t) (2. 33)
не зависит от t. Рассмотрим вариацию постоянных
. (2. 34)
Тогда (2. 32) сводится к (2. 30), где , т. е. к уравнению
(2. 35)
Замена независимых переменных , определенная соотношением
, (2. 36)
переводит (2. 35) в уравнение
(2. 37)
где
(2. 38)
а аргументом функции q и ее производных служит функция t = t (s), обратная к функции s = s (f), определяемой из (2. 36) с помощью квадратуры; см. (1. 7). В этих формулах штрих означает дифференцирование по t, так что q' = dqldt. Замена переменных (2. 34), (2. 36) называется подстановкой Лиувилля. Эта подстановка, или повторное применение ее, часто приводит к дифференциальному уравнению типа(2. 37), в котором функция f (s) “близка” к постоянной. Простой предельный случай такой подстановки см. в упр. 1. 1(с). (xiv) Уравнения Риккати. В п. (xi), (xii) и (xiii) рассматривались преобразования уравнения (2. 1) в различные линейные уравнения второго порядка или в соответствующие линейные системы двух уравнений первого порядка. Иногда удобно преобразовать (2. 1) в соответствующее нелинейноеуравнение или систему. Для этого чаще всего используется следующий метод. Пусть
, (2. 39)
так что . Тогда после деления (2. 1) на и результат можно записать в виде . (2. 40)
Это уравнение называется уравнением Риккати, соответствующим (2. 1). (В общем случае уравнение вида , где правая часть является квадратичным полиномом от г, называется дифференциальным уравнением Риккати. ) Читателю предоставляется проверка того факта, что если и (t) - решение уравнения (2. 1), не равное нулю на t - интервале , то функция (2. 39) является решением уравнения (2. 40) на J'; обратно, если - решение уравнения (2. 40) на t-интервале , то, интегрируя (2. 39), мы получаем решение (2. 41)
уравнения (2. 1), не равное нулю ни в одной точке из J'.
(xv) Преобразование Прюфера. В случае, когда уравнение (2. 1) имеет вещественные коэффициенты, часто используется следующее преобразование . Пусть -вещественное решение уравнения 2. 1, и пусть .
Поскольку и и и' не могут обратиться в нуль одновременно, то, фиксируя соответствующее значение функции в некоторой точке , мы определяем с помощью второго из равенств (2. 42) непрерывно дифференцируемую функцию . Соотношения (2. 42) переводят уравнение (2. 1) в систему , (2. 43)
(2. 44)
В уравнение (2. 43) входит лишь одна из неизвестных функций . Если решение уравнения (2. 43) известно, то соответствующее решение уравнения (2. 44) может быть найдено с помощью квадратуры. Преимущество уравнения (2. 43) по сравнению с (2. 40) состоит в том, что всякое решение уравнения (2. 43) существует на всем интервале J, где непрерывны р и q. Это видно из соотношения, связывающего решения уравнений (2. 1) и (2. 43).
Упражнение 2. 1. Проверьте, что если функция непрерывна на J и имеет локально ограниченную вариацию (т. е. имеет ограниченную вариацию на всех замкнутых ограниченных подин-тервалах из J) и если - вещественное решение уравнения (2. 1), то равенства (2. 45)
при фиксированном значении для некоторого однозначно определяют непрерывные функции , имеющие локально ограниченную вариацию и
Соотношения (2. 46) и (2. 47) следует понимать так, что интегралы Римана - Стильтьеса от обеих их частей равны. Обратно, (непрерывные) решения системы уравнений (2. 46), (2. 47) определяют решения уравнения (2. 1) с помощью соотношений (2. 45). Заметим, что если q (t) > 0, р (t) > 0 и функция q(t) р(t) имеет локально ограниченную вариацию, то, полагая , мы получаем q/, а соотношения (2. 45), (2. 46) и (2. 47) переходят в равенства (2. 48)
(2. 49)
. (2. 50)
§ 3. Теоремы Штурма
В этом параграфе мы будем рассматривать только уравнение вида (2. 1) с вещественными непрерывными коэффициентамир (t) > 0, q (t). Под “решением” мы будем понимать “вещественное, нетривиальное (т. е. ) решение”. Нас будет интересовать множество нулей решения u (t). Для изучения этих нулей часто оказывается полезным преобразование Прюфера (2. 42), поскольку тогда и только тогда, когда .
Лемма 3. 1. Пусть - вещественное решение уравнения (2. 1) при , где и вещественны и непрерывны. Пусть функция и (t) имеет в точности нулей при . Предположим, что - непрерывная функция, определенная равенством (2. 42), и . Тогда и при .
Доказательство. Заметим, что в той точке t, где u=0, т. е. где , производная в силу (2. 43). Следовательно, функция возрастает в окрестности точек, где для некоторого целого j. Отсюда следует, что если и , то при , а также что если , то при . Тем самым лемма доказана. В теоремах этого параграфа будут рассматриваться два уравнения
где функции вещественны и непрерывны на интервале J. и
. (3. 2)
В этом случае уравнение (3. 1) называется мажорантой Штурма для (3. 1) на J, а уравнение (3. 1)-минорантой Штурма для (3. 1). Если дополнительно известно, что соотношения (3. 32)
или
и (3. 31)
выполняются в некоторой точке , то уравнение (3. 32) называется строгой мажорантой Штурма для (3. 31) на J.
Теорема 3. 1 (первая теорема сравнения Штурма). Пусть коэффициенты уравнения непрерывны на интервале J: , и пусть уравнение (3. 32) является мажорантой Штурма для (3. 11). Предположим, что функция является решением уравнения (3. 11) и имеет точно нулей при , а функция удовлетворяет уравнению (3. 12) и (3. 4)
при . [Выражение в правой (соответственно левой) части неравенства (3. 4) при полагается равным , если (соответственно если ); в частности, соотношение (3. 4) справедливо при , если . ] Тогда имеет при пo крайней мере n нулей. Более того, имеет по крайней мере n нулей при , если при в (3. 4) имеет место строгое неравенство или если уравнение (3. 1 г) является строгой мажорантой Штурма для (3. 11) при .
Доказательство. В силу (3. 4) можно определить при пару непрерывных функций с помощью соотношений (3. 5)
Тогда справедливы аналоги соотношения (2. 43):
(3. 6j)
Поскольку непрерывные функции , гладким образом зависят от , решения системы (3. 6) однозначно определяются своими начальными условиями. Из (3. 2) следует, что при и всех . Поэтому последняя часть (3. 5) и следствие III. 4. 2 означают, что для В частности, из следует, что , и первая часть теоремы вытекает из леммы 3. 1. Чтобы доказать последнюю часть теоремы, предположим вначале, что при в (3. 4) имеет место строгое неравенство. Тогда . Обозначим через решение уравнения (3. 62), удовлетворяющее начальному условию , так что . Поскольку решение уравнения (3. 62) однозначно определяется начальными условиями, при . Неравенство, аналогичное (3. 7), означает, что потому . Следовательно, имеет n нулей при . Рассмотрим теперь тот случай, когда в (3. 4) имеет место равенство, но в некоторой точке из выполняется либо (3. 31), либо (3. 32). Запишем (3. 62) в виде ,
где
Если доказываемое утверждение неверно, то из уже рассмотренного случая следует, что при . Поэтому и при . Так как только в нулях функции , то отсюда следует, что при и . Следовательно, если при некотором t, то , т. е... Если (3. 31) не выполняется ни при каком t из отрезка , то при некотором t имеет место (3. 32), и потому (3. 32) справедливо на некотором подинтервале из . Но тогда на этом интервале и потому . Однако это противоречит условию . Доказательство закончено.
Следствие 3. 1 (теорема Штурма о разделении нулей). Пусть уравнение (3. 12) является мажорантой Штурма для (3. 11) на интервале J, и пусть - вещественные решения уравнений, (3. 3j). Пусть обращается в нуль в двух точках интервала J. Тогда имеет по крайней мере один нуль на . В частности, если и вещественные линейно независимые решения уравнения (3. 11) (3. 12). То нули функции разделяют нули функции и разделяются ими. Заметим, что, последнее утверждение этой теоремы имеет смысл, поскольку нули функций и не имеют на J предельных точек. Кроме того, , не могут иметь общего нуля , так как в противном случае в силу того, что решения уравнения (3. 11) единственны, , где (так что и не являются линейно независимыми).
Упражнение 3. 1. (Другое доказательство теоремы Штурма о разделении нулей, когда p1(t)єp2(t)>0, q2(t)іq1(t). ) Предположим, что u1(t)>0 при t10 при t1Ј tЈt2. Умножая (p1(t)uў)ў+q1(t)u=0, где u=u1, на u2, а (p2(t)uў)ў+q2(t)u=0, где u=u2, на u1, вычитая и интегрируя по [t1, t2], получаем: p(t)(u1ўu2-u1u2ў)і0, при t1ЈtЈt2, где p=p1=p2. Это означает, что (u1/u2)ўі0; поэтому u1/u2>0 при t10 чего быть не может. Решение:
(p1(t)uў)ў+q1(t)u=0, u=u1
(p1(t)u1ў)ў+q1(t)u1=0.
Умножим левую часть равенства на u2, получим:
u2(p1(t)u1ў)ў+q1(t)u1u2=0.
Во втором уравнении проделаем соответствующие операции:
(p2(t)uў)ў+q2(t)u=0, u2=u
(p2(t)u2ў)ў+q2(t)u2=0.
Умножим левую часть равенства на u1, получим:
u1(p2(t)u2ў)ў+q2(t)u1u2=0.
Вычитаем из первого уравнения второе, получим:
u2(p1u1ў)ў+q1u1u2-u1(p2u2ў)ў-q2u1u2=0, p=p1=p2
u2(pu1ў)ў+q1u1u2-u1(pu2ў)ў-q2u1u2=0
(u2(pu1ў)ў-u1(pu2ў)ў)+u1u2(q1-q2)=0
Упростим это уравнение,
u2(pўu1ў+pu1ўў)-u1(pўu2ў+pu2ўў)+u1u2(q1-q2)=0
Раскроем скобки, получим:
pўu1ўu2+ pu1ўўu2- pўu1u2ў-pu1u2ўў+u1u2(q1-q2)=0.
Сравнивая с формулой (2. 2), получаем:
(p(u1ўu2-u1u2ў))ў+u1u2(q1-q2)=0
(p(u1ўu2-u1u2ў))ў-u1u2(q2-q1)=0
(p(u1ўu2-u1u2ў))ў=u1u2(q2-q1)=0.
Проинтегрируем это уравнение по [t1, t], получим:
[p(u1ўu2-u2ўu1)]ўdt = u1u2(q2-q1)dt, где
u1u2>0, q2-q1і0. Значит p(u1ўu2-u1u2ў)і0.
Т. о. (u1/u2)ўі0 Ю u1/u2>0.
Упражнение 3. 2. с) Проверьте, что вещественные решения u(t) №0 уравнения uўў+m/t2u=0 (1/17) имеет не более одного нуля при t>0, если mЈ, и эти решения имеют бесконечно много нулей при t>0, если m>. В последнем случае множество нулей имеет две предельные точки t=0 и t=Ґ. Решение: в §1 было рассмотрено упражнение 1. 1 с), где показали, что функция u=tl является решением уравнения uўў+m/t2u=0 тогда и только тогда, когда l удовлетворяет уравнению l(l-1)+ m=0. Решая его получили : l=±m. Если m>1/4, то корни l1 и l2 – комплексные, т. е.
u=t1/2[cos (m-1/4 ln t)c1+c2sin(m-1/4 ln t)]
имеют бесчисленное множество нулей. В частности, если положить: c1=sinu , c2=cosu,
то получим:
u= t1/2[sin u cos (m-1/4 ln t)+cos u sin (m-1/4 ln t)]=
t1/2 [sin (u+m-1/4 ln t)].
Если m u=с1t1/2+ +c2t1/2
имеют не более одного нуля.
Так же, если m=1/4, то решение
u=c1t1/2+c2t1/2ln t
имеют не более одного нуля.
d) Рассмотрим уравнение Бесселя:
vўў+vў/t+(1-m2/t2)v=0, (3. 10)
где m-вещественный параметр. Вариация постоянных u=t1/2/v переводит уравнение (3. 10) в уравнение: uўў+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4 (3. 11)
Проверим истинность этого утверждения u=t1/2v, следовательно: v=u/t1/2=ut-1/2.
Найдём первую производную:
vў=(ut-1/2) ў=uўt-1/2+u(t-1/2)ў=uўt-1/2-1/2ut-3/2.
Теперь вторую производную:
vўў=(uўt1/2) ў-1/2(ut-3/2) ў=uўўt-1/2 +uў(t-1/2) ў-1/2(uўt-3/2+u(t-3/2) ў)= =uўўt-1/2 –1/2uўt-3/2-1/2uўt-3/2+3/4uut-5/2=
=uўўt-1/2-uўt-3/2+3/4ut-5/2.
Подставляя в уравнение (3. 10), получим:
vўў+vў/t+(1-m2/t2)v=0.
uўўt-1/2-uўt-3/2+3/4ut-5/2+1/t(uўt-1/2-1/2ut-3/2)+(1-m2/t2)ut-1/2=0 t-1/2(uўў-uўt-1+3/4ut-2+uўt-1-1/2ut-2+u(1-m2/t2))=0
uўў+1/4ut-2+u(1-m2/t2)=0
uўў+u-m2u/t2+1/4ut-2=0
uўў+u-(m2u-1/4u)/t2=0
uўў+u-((m2-1/4)u)/t2=0
uўў+u-au/t2=0
uўў+(1-a/t2)u=0, где a=m2-1/4.
Покажем, что нули вещественного решения v(t) уравнения (3. 10) образуют при t>0 такую последовательность t1
Так как в уравнении
uўў+(1-a/t2)u=0, т. е. уравнение
uўў+(1-(m2-1/4)/t2)u=0
m - постоянное число, то при mі1/4 и при t – достаточно большое, то выражение 1-(m2-1/4)/t2®1, т. е. если уравнение
uўў+(1-(m2-1/4)/t2)u=0
сравнить с уравнением uўў+u=0, то расстояние между последовательными нулями стремится к p, т. е. tn-tn-1®p при n®Ґ.
Теорема 3. 2 (вторая теорема сравнения Штурма). Пусть выполнены условия первой части теоремы 3. 1 и функция имеет точно n нулей при . Тогда соотношение (3. 4) выполняется при [где выражение в правой (соответственно левой) части (3. 4) при полагается равным , если (соответственно, )]. Кроме того, при в (3. 4) имеет место строгое неравенство, если выполнены условия последней части теоремы 3. 1.
Доказательствоэтого утверждения содержится по существу в доказательстве теоремы 3. 1, если заметить, что из предположения о числе нулей функции вытекает последнее неравенство в следующей цепочке: . Аналогично, в предположениях последней части теоремы доказательство теоремы 3. 1 дает неравенство .
Использованная литература:
Ф. Хартман. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Учебн. пособие. / Пер. с англ. И. Х. Сабитова, Ю. В. Егорова; под ред. В. М. Алексеева. -М. : изд. ”Мир”, 1970г. -720 с.
В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. Гос. изд. “Технико-теор. литер. ”-М. , 1953г. -468 с.
Большая Советская Энциклопедия. /Под ред. А. М. Прохорова. Изд. 3-е. , М. , “Советская Энциклопедия”, 1978г. , т. 29. “Чачан-Эне-ле-Бен. ”– 640 с. Г. Вилейтнер. “История математики от Декарта до середины 19-го столетия. ” М. , изд. “Наука. ”, 1966г. – 508 с.
История математики с древнейших времён до начала 19-го столетия. /Под ред. Юшкевича А. П. , т. 3 /Математика 18-го столетия/. , изд. “Наука. ”, М. , 1972г. – 496 с.
Страницы: 1, 2
