Методы и приемы решения задач - (реферат)
p>Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами. Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.Задача. Найти формулу для площади произвольного треугольника. Решение. Пуст S – площадь треугольника ABC (рис. 7). Проведем высоту BD и получим прямоугольные треугольники ABD и CBD. Очевидно, что S = SABD + SBCD. Воспользуемся теперь известным правилом нахождения площади прямоугольного треугольника и получим:
Заметим, что данное решение было проведено для остроугольного треугольника. В случае же тупоугольного треугольника результат не изменится, отличие будет лишь в исходном соотношении для площадиS = SABD – SBCD.
Таким образом, сформулируем правило: площадь произвольного треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, проведенную к этой стороне.
9. Аналитико – синтетический метод.
Анализ –логический приём, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически) разбивается на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.
Синтез –логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в единое целое (другими словами обратный анализу).
Не следует отделять эти методы друг от друга, так как они составляют единый аналитико-синтетический метод. Так при решении сложной задачи она с помощью анализа разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.
Пример: (использование анализа при решении иррациональных уравнений) -=
1) рассмотрим левую часть: < т. к. x-3 2) следовательно - 3) но >0
4) приходим к противоречию, а значит
5) уравнение решения не имеет.
10. Метод сведения к ранее решенным.
Суть метода заключается в том , что бы увидеть в данной задаче ранее решенную и сведению решаемой задачи с помощью последовательных преобразований к ней. Если, например, нужно решить уравнение то обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, последним звеном которого является уравнение с очевидным решением...
Данный метод используется очень широко в тригонометрии (при решении уравнений и неравенств). Так в самом начале изучения данной темы учащимся предлагают заучить основные тригонометрические тождества, затем формулы сложения, приведения, суммы и разности. А в дальнейшем сначала вырабатываются умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.
Пример: Найдите значение других трех основных тригонометрических функций, если sinб= - 0. 8, Р
После этого переходят к более сложным выражениям, но теперь уже формируются навыки по приведению их к простейшим.
Прием "сведения" лежит в основе решения геометрических задач на построение. В каждой задаче этого вида содержится требование: исходя из данных фигур (или данных их элементов), с помощью указанных конструктивных элементов построить фигуру, удовлетворяющую определенным условиям. Это означает, что требуемое построение должно быть сведено к так называемым элементарным построениям, выполняемым реальными инструментами.
Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым задачам.
Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и ранее введенным аксиомам и определениям данной научной области. Доказать - это, значит, свести новую теорему (задачу) в конечном счете, к аксиомам.
Вообще решение большинства задач начинается с того, что выясняют можно ли данную задачу свести к более простой рассмотренной ранее.
Однако не стоит увлекаться данным методом, поскольку есть опасность того, что учащиеся и в дальнейшем будут мыслить своего рода“по шаблону”. Вообще, рассмотрение практически любой задачи рекомендуют начинать с того, что следует посмотреть, нет ли в ней скрытого в условии более простого для решения случая.
11. Метод математической индукции
Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивныминазывают выводы, на основе наблюдений, опытов, т. е. полученные путем заключения от частного к общему.
А) Суть метода математической индукции.
Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии приходится доказывать истинность предложений А(n), зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А(n) для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе.
Предложение А(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:
Предложение А(n) истинно для n=1.
Из предположения, что А(n) истинно для n = k (где k –любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего значения n=k+1.
Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства.
Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если требуется доказать истинность предложения А(n) для всех натуральных n, то, во-первых, следует проверить истинность высказывания А(1) и, во-вторых, предположив истинность высказывания А(k), попытаться доказать, что высказывание А(k+1) истинно. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А(n) признается истинным для всех значений n.
С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел.
Пример 1 .
Докажите , что если от квадрата нечетного числа отнять 1 , то получим число , которое делится на 8
Доказательство.
(2n+1)І - 1 : 8 n e N
1. Проверим n=1
(2. 1 + 1 )І - 7 : 8
8: 8 – истина
2. Предположим , что верно n= k
(2k+1)І-1 : 8
3. Докажем , что истинно для n = k +1
(2(k+1)+1)І -1 : 8
(2(k+1)+1)І -1 = 4(k+1)(k+2) , k>1 , keN
Т. о. 4(k+1)(k+2) : 8
Значит (2n + 1 )І - 1 : 8
Ч. Т. Д.
Б) Применение метода математической индукции к суммированию рядов.
Пример 1. Доказать формулу
, n – натуральное число.
Решение.
При n=1 обе части равенства обращаются в единицу и, следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено.
Предположим, что формула верна при n=k, т. е.
.
Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим
Таким образом, из того, что формула верна при n=k, следует, что она верна и при n=k+1. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Формула доказана.
Пример 2. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна . Решение.
Обозначим искомую сумму , т. е...
При n=1 гипотеза верна.
Пусть . Покажем, что .
В самом деле,
.
Задача решена.
В) Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.
Пример 1. Доказать, что при любом натуральном n>1
.
Решение.
Обозначим левую часть неравенства через .
, следовательно, при n=2 неравенство справедливо.
Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и . Имеем , .
Сравнивая и , имеем , т. е...
При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому. Но , значит, и .
Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.
Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство . Доказательство.
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т. е... (1)
Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т. е...
Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или . Утверждение доказано. Пример 3. Доказать, что , где >-1, , n – натуральное число, большее 1. Решение.
При n=2 неравенство справедливо, так как .
Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т. е... (1)
Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т. е... (2)
Действительно, по условию, , поэтому справедливо неравенство , (3)
полученное из неравенства (1) умножением каждой части его на . Перепишем неравенство (3) так: . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2). Пример 4. Доказать, что
(1)
где , , n – натуральное число, большее 1.
Решение.
При n=2 неравенство (1) принимает вид
. (2)
Так как , то справедливо неравенство
. (3)
Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2). Этим доказано, что при n=2 неравенство (1) справедливо.
Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некоторое натуральное число, т. е... (4)
Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т. е. (5)
Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство: . (6)
Для того чтобы доказать справедливость неравенства (5), достаточно показать, что
, (7)
или, что то же самое,
. (8)
Неравенство (8) равносильно неравенству
. (9)
Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух положительных чисел. Если, то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.
Этим доказано, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.
Г) Метод математической индукции в применение к другим задачам.
Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Рассмотрим пример.
Пример . На сколько треугольников n-угольник (не обязательно выпуклый) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?
Решение.
Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, очевидно, двум. Предположим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k
Аn
А1 А2
Пусть А1Аk – одна из диагоналей этого разбиения; она делит n-угольник А1А2…Аn на k-угольник A1A2…Ak и (n-k+2)-угольник А1АkAk+1…An. В силу сделанного предположения, общее число треугольников разбиения будет равно
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
тем самым наше утверждение доказано для всех n.
Страницы: 1, 2
