Метод конечных разностей или метод сеток - (курсовая)

p>Для разностной aппроксимации производных U’, U’’, U’’’можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i, j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

    Uxx + Uyy = f(x, y)
    на сетке W выглядит следующим образом :
    Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij
    2 2
    hx hy
    где hx - шаг сетки по X
    hy - шаг сетки по Y
    Сеточное уравнение общего вида можно записать так:
    N
    CijUj = fi i=0, 1.... N
    j=0

Оно содержит все значения U0, U1 .... UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица. В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т. е. вектор i = (i1 .... ip) с целочисленными компонентами и тогда :

    СijUj =fi i О W
    jОW

где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами. Аппроксимируем нашу задачу т. е. заменим уравнение и краевые условия на соответствующие им сеточные уравнения.

    U=U(x, y)
    y
    M b
    M-1
    Uij j
    j
    1
    0 1 2 i N-1 N=a x
    i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию Uij=U(xi, yj) , где

    xi=x0+ihx
    yi=y0+jhy
    hx = a/N ,
    hy = b/M и т. к.
    x0=y0
    то
    xi=ihx, yi=jhy, i=0.... N
    j=0.... M
    Найдём разностные производные входящие в уравнение
    2
    DU = f

(т. е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

    Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j
    hx hx
    Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j
    hx
    Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных :
    Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j
    Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j 4
    hx hx Анологично вычислим производную по y :
    Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2
    4
    hy
    Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy :
    Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1
    (Uxx)yyij = hy hy = Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 = 2
    hy hy

= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1 - 2Uij+1 + Ui+1j+1 2 2 2 2 2 2

    hxhy hxhy hxhy
    В силу того что DU = f
    имеем:
    Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +
    4
    hx

+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1 -2Uij+1 + Ui+1j+1 + 2 2 2 2 2 2

    hxhy hxhy hxhy
    + Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij (*) 4
    hy
    Это уравнение имеет место для
    i=1, 2, .... N-1
    j=1, 2, .... M-1
    Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :
    x=0 ~ i = 0
    x=a ~ xN=a
    y=0 ~ Yo=0
    y=b ~ YM=b
    1) х=0 (левая граница области G)
    Заменим условия
    U = 0
    x=o
    Uxxx = 0
    x=o
    на соответствующие им разностные условия
    Uoj=0
    U-1j=U2j - 3U1j (1`)
    2) х=а (правая граница области G)
    i=N
    Ux = 0
    x=a
    Uxxx = 0
    x=a из того что Ui+1j - Ui-1j = 0
    2hx
    UN+1j = UN-1j
    UNj = 4 UN-1j - UN-2j (2`)
    3
    3) у=0 (нижняя граница области G)
    j=0
    Ui , -1 = Ui1
    Ui0 = 0 (3`)
    это есть разностный аналог Uy = 0
    y=o
    U =0
    y=o
    4) у=b
    i=M
    U = 0
    y=b т. е. UiM=0 (**)

Распишем через разностные производные Uxx + Uyy =0 и учитывая что j=M и (**) получим

    UiM-1 = UiM+1
    Итак краевые условия на у=b имеют вид
    UiM+1 = UiM-1
    UiM = 0 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*) заданного на сетке W и краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе области G (или на границе сетки W)

    ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачи(*), (1`) - (4`).

    В данном случае неизвестными являются
    Uij = U(xi, yj)
    где xi = ihx
    yj = jhy
    при чём hx = a/N ,
    hy = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b] Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

    2
    DU = f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по строкам сеткиW , начиная с нижней строки.

1 Ui-2j - 4 + 4 Ui-1j + 6 - 8 + 6 Uij - 4 + 4 Ui+1j + 1 Ui+2j + 2Ui-1j-1 4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy hx hxhy

- 4 + 4 Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1 - 4 + 4 Uij+1 + 2 Ui+1j+1 + 1 Uij-2 + 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

    hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy hxhy hy
    + 1 Uij+2 = f ij для i=1 .... N-1, j=1 .... M-1
    4
    hy

и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрицеАотличны от нуля не более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем уравнение:

    (k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

6 - 8 + 6 Uij = - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1 + 4 + 4 Uij-1 4 2 2 4 4 2 2 2 2 4

    hx hxhy hy hy hxhy hxhy hy
    (k+1) (k+1) (k+1) (k)

- 2 Ui+1j-1 - 1 Ui-1j + 4 + 4 Ui-1j + 4 + 4 Ui+1j 2 2 4 4 2 2 4 2 2 hxhy hx hx hxhy hx hxhy

    (k) (k) (k) (k) (k)

- 1 Ui+2j - 2 Ui-1j+1 + 4 + 4 Uij+1 - 2 Ui+1j+1 - 1 Uij+2 + fij 4 2 2 2 2 4 2 2 4

    hx hxhy hxhy hy hxhy hy
    (k)

При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления начинаются с i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам сетки W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1). Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче тринадцатиточечный т. е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицыА - для данной задачи.

    j+2
    j+1
    j
    j-1

Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет тринадцатидиагональной .

    j-2
    i-1
    i
    i+1
    i+2
    i-2
    Шаблон задачи
    ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.
    Константы используемые в программе :
    aq = 1 - правая граница области G
    b = 1 - левая граница области G
    N = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0, a]
    M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0, b]
    h1 = aq/N - шаг сетки по X
    h2 = b/M - шаг сетки по Y
    Переменные :
    u0 - значения сеточной функции U на k-ом шаге
    u1 - значения сеточной функции U на (k+1)-ом шаге
    a - массив коэффициентов шаблона
    Описание процедур :
    procedure Prt(u: masa) - печать результата

function ff(x1, x2: real): real - возвращает значение функции f в узле (x1, x2) procedure Koef - задаёт значения коэффициентов

    Действие :

Берётся начальое приближение u0 и с учётом краевых условий ведётся вычисление с i=2 .... N , j=2 .... M. На каждом итерационном шаге получаем u1 по u0. По достижении заданной точности eps>0вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг(k+1), а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают итерационный шагk.

Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7. 0

    Министерство общего и профессионального образования РФ
    Воронежский государственный университет
    факультет ПММ
    кафедра Дифференциальных уравнении
    Курсовой проект
    “Решение бигармонического уравнения методом Зейделя”
    Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
    Никулин Л. А.
    Руководитель : старший преподаватель
    Рыжков А. В.
    Воронеж 1997г.

Страницы: 1, 2