Лекции по статистике - (лекции)
p>Если на ось ординат нанести значение признака, а накопленные частоты - на ось абсцисс, то получим кривую, называемую огивой.Кривой концентрации или кривой Лоренца называют кривую относительной концентрации суммарного значения признака. Пусть имеется вариационный ряд, отражающий, например, частотное распределение семей по их доходам, где число (процент) семей с доходом . Тогда общий доход - суммарный доход.
Относительный накопленный доход
Построение кривой Лоренца осуществляется следующим образом: по оси абсцисс откладывают накопленные относительные частоты, а по оси ординат накопленный относительный доход.
Если доход распределяется по семьям равномерно, то кривая Лоренца описывается прямой ОВ. Это означает, что 10% семей получают 10% общего дохода и т. д. абсолютная (полная) концентрация задается ломаной ОАВ. Это означает, что преобладающее число семей ( например 99%) совсем не имеют дохода и только 1% имеет весь суммарный доход.
В промежуточных случаях между этими экстремальными графиками кривая Лоренца описывает увеличение концентрации дохода в руках небольшой части семей при приближении ее графика к кривой ОАВ, при уменьшении концентрации ее график располагается ближе к прямой ОВ. Концентрация определяется площадью области ОСВ, чем больше величина площади, тем сильнее концентрация. Площадь S можно найти по формуле средних прямоугольников. В качестве меры концентрации используется коэффициент Джини: .
пример.
4. ДИАГРАММЫ.
Диаграмма ( от греческого diagramma - изображение, чертеж, рисунок) - это графическое изображение, наглядно показывающее соотношение между сравниваемыми величинами. Диаграммы бывают различных видов: полосовые (ленточные), столбиковые, квадратные, круговые, секторные, фигурные, радиальные, знак Варзара.
Полосовые - особенно наглядны при сравнении величин, связанных между собой в единое целое. Ширина полос должна быть одинаковой. По длине полосы разбиваются на части, пропорциональные изображаемым величинам.
пример 1.
Данные по классификации безработных в США (средние по месяцам) Год
ищут работу
частично занятые
нет работы
1989
6. 5
4. 9
0. 9
1990
6. 9
5. 1
0. 8
1991
8. 4
6. 0
1. 1
Основным видом столбиковых диаграмм являются гистограммы.
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых служат частотные интервалы длины h, а высоты равны отношению Mi/h - плотность частоты. Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними на расстоянии Mi/h проводят отрезки параллельные основанию. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых случат частичные интервалы длиной h, а высоты равны Wi/h.
Гистограмма относительных частот - аналог плотности распределения непрерывной случайной величины. Иногда высоты прямоугольников в гистограмме не делят на h, но указывают над столбиками значение высоты и над осью ординат пишут, что ее значение надо делить на h. Такую гистограмму называют масштабированной. пример.
при построении квадратных и круговых диаграмм площади квадратов или кругов выражают изображаемые величины.
пример. Сравнение грузооборота. В СНГ в 1990 г. грузооборот железнодорожного транспорта составил 3505, 2 тыс. т, морского - 853. 9, автомобильного - 458. 9. (Вычислить корни квадратные - сторона квадрата)
Круговые секторные диаграммы применяют для графического изображения составных частей целого. Для из построения необходимо изображаемые данные выразить в градусах, т. к. 1% составляет 3, 6 градусов, то соответствующие показатели для определения центральных улов надо умножить на 3. 6. Чтобы легче различать сектора используют различную раскраску или штриховку.
радиальные - они строятся в полярной системе координат и используются для изображения признаков, периодически изменяющихся во времени (в большинстве своем сезонных колебаний). Вычисляется среднее арифметическое, затем строится окружность радиуса равного среднему арифметическому. Данная окружность делится на нужное число секторов (обычно 12) и на каждом радиальном направлении откладываются точки в соответствии со значениями Xi.
фигурные диаграммы строятся 2 основными способами: данные изображаются либо фигурами различных размеров, либо разной численностью фигур одинакового размера. Второй способ чаще используется, каждая фигура содержит определенное число единиц признака и сравнение осуществляется по числу фигурок. При этом допускается дробление знака до половины.
Stem & leaf- данные можно представить в виде десятков и единиц, где десятки это стебли, единицы - лепестки.
Диаграмма “знак Варзара” названа в честь русского статистика. С помощью данной диаграммы можно изображать многомерные признаки на плоскости посредством прямоугольников с разным соотношением между основанием и высотой. Одна из компонент признака изображается основанием прямоугольника, вторая его высотой, третья - равная произведению двух других размером получившейся площади. примеры.
Тема 4. Числовые характеристики одномерных признаков.
С целью обеспечения обработки частотных распределений и свертки информации, заключенной в статистических данных, вариационные ряды описывают с помощью определенных числовых характеристик. Такими характеристиками для одномерных статистических рядов являются следующие:
характеристики положения
характеристики рассеяния
характеристики формы;
5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ. СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ.
Схематично средние величины можно представить следующим образом:
Степенная средняя
Эта формула задает не взвешенную или простую среднюю степенную. Она применяется для не сгруппированных данных. Для сгруппированных данных применяется следующая формула
Рассмотрим различные значения q.
q =-1 получаем среднее гармоническое
q =0 среднее геометрическое
q = 1 среднее арифметическое
q = 2 среднее квадратичное
Справедливо следующее неравенство для средних величин
Рассмотрим среднее арифметическое:
Отметим наиболее важные свойства среднего арифметического: если из всех значений признака вычесть некоторую константу С, если все значения признака умножить на с, то и среднее умножается на С. пусть исходные данные представлены следующим образом , т. е. данные разбиты на q групп . Взвешенное среднее арифметическое из групповых или частотных средних будет равняться общей средней.
сумма взвешенных отклонений значений признака от общей средней арифметической равна 0:
сумма квадратов взвешенных отклонений значений признака от меньше аналогичной суммы от любой другой меры положения , разность между этими суммами равна .
Рассмотрим среднее гармоническое q=-1.
Свойства среднего гармонического:
взвешенная гармоническая из групповых гармонических равна общей гармонической . Применение того или иного вида весов зависит от представления значений признака.
Примеры.
Таким образом, если между показателями существует обратная зависимость как например между числом изготовленных деталей и затратами времени на одно изделие, то надо использовать среднее гармоническое. А если между показателями существует прямая зависимость, например между индивидуальными зарплатами и фондом зарплат, то применяется среднее арифметическое.
Рассмотрим геометрическое среднее:
Вычислим предел:
6. Свойства среднего геометрического:
общее среднее геометрическое может быть найдено по формуле . если кроме признака х рассмотреть признак у со значениями у(1), у(2), ........ ,, то имеем если есть несколько совокупностей , то имеем
Среднее геометрическое применяется для расчета среднего коэффициента или среднего темпа роста
пример.
Пусть известно, что за 5 лет выпуск промышленной продукции предприятия вырос в 1. 5 раза, тогда средний ежегодный коэффициент роста, т. е. 108, 4 %, а средний ежегодный прирост равен 8, 4%.
Среднее квадратическое q=2.
Обычно применяются, если в качестве берутся отклонения значений признака от среднеарифметических . Если n
7. Структурные (порядковые) характеристики.
Квантили - порядковые характеристики, то есть значения признака, занимающие определенное место в ранжированной совокупности (упорядоченной). Медиана.
Медиана - значение изучаемого признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности.
При вычислении медианы интервального вариационного ряда, сначала находят медианный интервал, где h - длина медианного интервала. Для этого можно использовать кумулятивное распределение частот или относительных частот. Медианному интервалу соответствует тот, в котором содержится накопленная равная 1/2. Внутри найденного интервала расчет медианы производится по формуле: , где - кумулятивная частота интервала, предшествующего медианному, - относительная частота медианного инетрвала.
