Краткая методичка по логике - (шпаргалка)
p>Пример анализа рассуждения “(это преступление совершено в Кустанае | q). (Петров во время совершения преступления находился в Ростове | r). Следовательно (Петров не совершал этого преступления | Шp)”. qЩrЮШp – не тавтология“Преступление совершено в Кустанае. Поэтому если Петров совершил это преступление, то (он во время совершения преступления находился в Кустанае|s). Но Петрова в это время в Кустанае не было. Значит, Петров не совершал этого преступления”.
qЩ(qЮpЮs)ЩШp = … = 1 – тавтология т. е. рассуждение правильное. Рассуждение останется правильным, если из него выбросить первое предложение и ссылку на него во втором предложении:
(pЮs)ЩШsЮШp = +`p = +`p = p + s +`p = 1 + s = 1
Задача. Выяснить, кто из четверых виновен на основе информации “Петров виновен, только если виновен Кулагин. Неверно, что виновность Родионова влечет виновность Сидорова и что Кулагин виновен, а Сидоров нет”. p, q, r, s – виновен Петров, Кулагин, Родионов, Сидоров.
(pЮq)ЩШ(rЮs)ЩШ(qЩШs) = (`p + q) = (`p + q) r`s(`q + s) = (`p + q)`r s`q = `p`q r`s т. е. Родионов виновен, остальные не виновны.
Задача Кислера. Обвиняемые в подделке налоговых документов Браун, Джонс и Смит дают под присягой такие показания.
Браун: Джонс виновен, а Смит не виновен.
Джонс: Если Браун виновен, то виновен и Смит.
Смит: Я не виновен, но хотя бы один из них двоих виновен.
Вопрос 1: Совместимы ли данные показания?
Вопрос 2: Какое показание следует из другого?
Вопрос 3: Если все виновны, то кто лжесвидетельствует?
Вопрос 4: Если все сказали правду, то кто виновен?
Вопрос 5: Если невинный говорит правду, а виновный лжет, то кто виновен, а кто невиновен?
Б – виновен Браун.
Д – виновен Джонс.
С – виновен Смит.
Б
Д
С
ШБ
ШД
ШС
БЪД
ДЩШС
БЮС
ШСЩ(БЪД)
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
И
И
И
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
Л
И
Л
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
И
Л
Л
Л
И
И
И
Л
И
И
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Л
Показания
Брауна
Джонса
Смита
Да, только за счет третьей строки.
Из первого третье.
Браун и Смит.
Джонс виновен, остальные невиновны.
Джонс невиновен, остальные виновны.
Тема 4. Кванторная логика.
или логика предикатов является расширением пропозициональной логики путем изучения операций", $. Из определения этих операций следует, что значения высказываний "хp, $хp, понимаются соответственно как конъюнкция p1Щp2Щp3Щ… и дизъюнкция p1Ъp2Ъp3Ъ… значений высказывания p для всевозможных значений переменной х. Высказывание p называется кванторологически истинным при любой интерпретации. Из определений следует, что тавттологически истинное высказывание является кванторологически истинным. Обратное вообще говоря не верно: высказывание"хpЮ$хp является кванторологически истинным, но не является тавтологически истинным.
Истинностная таблица.
"хp
$хp
"хpЮ$хp
Л
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
И
И
И
Истинностная схема.
p1, p2, p3…
"хp
p1Щp2Щp3Щ…
$хp
p1Ъp2Ъp3Ъ…
"хpЮ$хp
ЛЛЛ…
Л
Л
И
ЛЛЛ…
Л
И
И
………
…
…
…
ИИИ…
И
И
И
Высказывание q называется кванторологическим следствием (из) высказываний р1, …, pn, если p является истинным в любой интерпретации, в которой истинными являются p1, …, pn.
Вхождением переменной cв высказывание p называется связанным, если оно является вхождением в некоторое подвысказывание вида"х(q) или вида $х(q); в противном случае это вхождение называется свободным. Например, первое и второе вхождения c1 в высказывание
((g(c1))Щ(g(c1, c2)))Ю($ c1(g(c1)))
являются свободными, а третье и четвертое – связанными.
Через р{х, а} обозначается результат подстановки терма, а вместо всех свободных вхождений переменной х в высказывание р, причем, если при такой подстановке все вхождения переменных из а остаются свободными, то терм а называется допустимым заменителем для х в р. Например, терм f(c5) является допустимым заменителем для c6 в высказывании g((c5, (c6), и не является допустимым заменителем для c6 в высказывании $c5 (g(c5, c6)). Высказывание р называется замкнутым (открытым), если оно не имеет свободных (связанных) вхождений переменных.
Теорема о всезначности переменной: р = И тттк "хр = И
Теорема об отрицании обобщения и подтверждения:
Ш"хр равносильно $хШр
Ш$хр равносильно "хШр
Теорема о взаимоисключении кванторов:
"хр равносильно Ш$хШр
$хр равносильно Ш"хШр
Теорема о перестановочности кванторов:
"х"ур равносильно "у"хр
$х$ур равносильно $у$хр
Типовые кванторы. Запись "qхр обозначает высказывание "х(qЮр), а запись $qхр обозначает высказывание $х(qЩр). Теорема о равносильной замене: пусть q есть результат замены в высказывании р какого-либо вхождения подвысказывания r1 на высказывание r2; тогда если r1 и r2 равносильны, то р и q тоже равносильны. Позитивным высказыванием называется такое, которое не имеет вхождений знака Ш. Позитивной формой высказывания р называется любое равносильное ему позитивное высказывание .
Теорема о позитивной форме: если отрицания предикатных компонент высказывания р имеют равносильные себе предикаты, то р равносильно некоторому позитивному высказыванию q; высказывание q можно построить с помощью теоремы о равносильной замене, теорем об исключении операцийЮ, Ы и теорем об отрицании для операций ", $, Ш, Щ, Ъ. Пример построения позитивной формы отрицания высказывания: “для каждого положительного числа е существует положительное число d т. ч. для каждого числа х из х1) = “ существует положительное число е т. ч. для каждого положительного числа d существует число х т. ч. х1”. Теорема о выводе в логике предикатов: нижеследующие шесть правил преобразования высказываний образуют достаточный набор правил вывода в логике предикатов т. е. р0 является кванторологическим следствием из p1, …, pn тттк р0 может быть получено из р1, …, рn с помощью этих шести правил: D t – правило тавтологии
D s, s Ю r, r – правило отделения
D"хрЮp{x, a} – правило обобщения
D p{x, a} Ю$ xp – правило подтверждения
D qЮr, q Ю"хr – правило общевнесения
D rЮq, $ xrЮq – правило сущевнесения
