Комплект заданий по численным методам - (реферат)
Комплект заданий по численным методам - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
2ВВЕДЕНИЕ
В экономике очень часто используется модель, называемая "черный ящик", то есть система у которой известны входы и выходы, а то, что происходит внутри - неизвестно. Законы по которым происходят изменения выходных сигналов в зависимости от входных могут быть различными, в том числе это могут быть и дифференциальные законы. Тогда встает проб лема решения систем дифференциальных уравнений, которые в зависимости от своей структуры могут быть решены различными методами. Точное реше ние получить очень часто не удается, поэтому мы рассмотрим численные методы решения таких систем. Далее мы представим две группы методов: явные и неявные. Для решения систем ОДУ неявными методами придется ре шать системы нелинейных уравнений, поэтому придется ввести в рассмот рение группу методов решения систем нелинейных уравнений, которые в свою очередь будут представлены двумя методами. Далее следуют теорети ческие аспекты описанных методов, а затем будут представлены описания программ. Сами программы, а также их графики приведены в приложении. Также стоит отметить, что в принципе все численные методы так или иначе сводятся к матричной алгебре, а в экономических задачах очень часто матрицы имеют слабую заполненность и большие размеры и поэтому неэффективно работать с полными матрицами. Одна из технологий, позво ляющая разрешить данную проблему - технология разреженных матриц. В связи с этим, мы рассмотрим данную технологию и операции умножения и транспонирования над такими матрицами.
Таким образом мы рассмотрим весь спектр лабораторных работ. Опи сания всех программ приводятся после теоретической части. Все тексты программ и распечатки графиков приведены в приложении.
2ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
1. ОПИСАНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СИСТЕМ ОДУ
И ИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Алгоритм этого метода определяется формулой:
x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0*F(x 5m 0, t 4m 0) 4, 0 (1)
которая получается путём аппроксимации ряда Тейлора до членов перво го порядка производной x'(t 4m 0), т. к. порядок точности равен 1 (s=1). Для аналитического исследования свойств метода Эйлера линеари зуется исходная система ОДУ x' = F(x, t) в точке (x 5m 0, t 4m 0): x' = A*x, (2)
где матрица А зависит от точки линеаризации (x 5m 0, t 4m 0). Входной сигнал при линеаризации является неизвестной функцией времени и при фиксированном t 4m 0 на шаге h 4m 0 может считаться констан той. Ввиду того , что для линейной системы свойство устойчивости за висит лишь от А, то входной сигнал в системе (2) не показан. Элемен ты матрицы А меняются с изменением точки линеаризации, т. е. с измене нием m.
Характеристики метода:
1. _Численная устойчивость ...
Приведя матрицу А к диагональной форме : А = Р* 7l 0*Р 5-1 0 и перейдя к новым переменным y = P 5-1 0*x , система (2) примет вид : y' = 7l 0*y (3)
Тогда метод Эйлера для уравнения (3) будет иметь вид :
y 5m+1 0 = y 5m 0 + h* 7l 0 * y 5m 0, (4)
где величина h* 7l 0 изменяется от шага к шагу.
В этом случае характеристическое уравнение для дискретной сис темы (4) будет иметь вид :
1 + h* 7l 0 - r = 0.
А корень характеристического уравнения равен:
r = 1+ h* 7l 0,
где 7l 0 = 7 a 0 _+ . 7 b 0 .
_Случай 1 ... Исходная система (3) является асимптотически устой чивой , т. е. нулевое состояние равновесия системы асимптотически ус тойчиво и 7 a 0 < 0.
Областью абсолютной устойчивости метода интегрирования системы (4) будет круг радиусом , равным 1 , и с центром в точке (0, -1). Таким образом , шаг h должен на каждом интервале интегрирования под бираться таким образом, чтобы при этом не покидать область А . Но в таком случае должно выполняться требование :
h < 2* 7t 0, (5)
где 7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени системы (3) . Она определяет ско рость затухания переходных процессов в ней. А время переходного про цесса T 4пп 0 = 3* 7t 0 , где 7t 0 = 72a2 5-1 0.
Если иметь ввиду, что система (3) n-го порядка, то
T 4пп 0 > 3* 7t 4max 0,
где 7t 4max 0 = 72a 4min 72 5-1 7 0; 7a 4min 0= min 7a 4i 0 . Из всех 7a 4i 0 (i=[1; n]) выбирает
ся максимальное значение : max 72a 4i 72 0= 7a 4max 0 и тогда можно вычислить :
7t 4min 0= 1/ 7a 4max 0,
а шаг должен выбираться следующим образом :
h < 2/ 7a 4max 0 или h < 2* 7t 4min 0.
_Случай 2 ... Нулевое состояние равновесия системы (2) неустойчи во, т. е. 7a 0 > 0 . Т. е. система тоже неустойчива , т. е. 72 0r 72 0>1. Поэтому
областью относительной устойчивости явного метода Эйлера является вся правая полуплоскость . Выполняется требование :
72 0 1+h* 7l 0 72 0< 7 2 0e 5hl 7 2 0 (6)
2. _Точность метода ...
Так как формула интегрирования (1) аппроксимирует ряд Тейлора для функции x(t 4m 0+1) до линейного по h члена включительно. Существует такое значение t в интервале [t 4m 0 , t 4m+1 0], при котором Е 4i 5am 0 =1/2! * h 4m 52 0*x 4i 0''(t),
где i=[1; n].
3. _Выбор шага интегрирования ...
Должны соблюдаться условия абсолютной (5) или относительной (6) устойчивости в зависимости от характера интегрируемой системы. Для уравнения первого порядка шаг должен быть :
h < 2* 7t 0 .
Для уравнений n-ого порядка :
h 4i 0 А окончательно шаг выбирают по условиям устойчивости :
h < 2* 7t 4min 0 , 7t 4min 0 = min 7t 4i
Вначале задаётся допустимая ошибка аппроксимации , а в процессе ин тегрирования шаг подбирается следующим образом :
1) по формуле (1) определяется очередное значение x 5m+1 0; 2) определяется dx 4i 5m 0 = x 4i 5m+1 0 - x 4i 5m 0 ;
3) условие соблюдения точности имеет вид :
h 4i 5m 0
4) окончательно на m-м интервале времени выбирается в виде: h 4m 0 = min h 4i 5m 0.
ЯВНЫЕ МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТА
Метод Эйлера является методом Рунге-Кутта 1-го порядка . Методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка являются одношаговыми , согласуются с рядом Тейлора до порядка точности s , который равен порядку метода . Эти методы не требуют вычисления производных функций , а только самой функции в нескольких точках на шаге h 4m 0. Алгоритм метода Рунге-Кутта 2-го порядка состоит в следующем : x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0/2 (k 41 0+k 42 0),
где k 41 0=f(x 5m 0, t 4m 0) ; k 42 0=f(x 5m 0+h 4m 0*k 41 0, t 4m 0+h 4m 0). Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 53 0 .
Алгоритм метода Рунге-Кутта 4-го порядка
x 5m+1 0=x 5m 0+h 4m 0/6(k 41 0+2k 42 0+2k 43 0+k 44 0),
где k 41 0=f(x 5m 0, t 4m 0); k 42 0=f(x 5m 0+h 4m 0/2*k 41 0, t 4m 0+h 4m 0/2); k 43 0=f(x 5m 0+h 4m 0/2*k 42 0, t 4m 0+h 4m 0/2);
k 44 0=f(x 5m 0+h 4m 0*k 43 0, t 4m 0+h 4m 0).
Ошибка аппроксимации Е 5a 0 = k*h 4m 55 0.
НЕЯВНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ
Неявный метод Эйлера используется для интегрирования " жест ких " систем. "Жесткие" системы это такие системы, в которых 7 0 ( 7l 4max 0) и ( 7l 4min 0) сильно отключаются друг от друга , то в решениях системы x' = A*x (1)
будут присутствовать экспоненты, сильно отличаются друг от друга по скорости затухания . Шаг интегрирования для таких систем должен вы бираться по условиям устойчивости из неравенства
h
где 7t 0=1/ 72a2 0 - постоянная времени системы y' = 7l 0*y . Она определяет скорость затухания переходных процессов в ней . Неравенство (2) должно выполняться на всем участке решения , что соответственно тре бует значительных затрат машинного времени.
Алгоритм этого метода определяется формулой:
x 5m+1 0 = x 5m 0 + h 4m 0*F(x 5m+1 0, t 4m+1 0) 4 0(3)
Если h 4m 0 мал, то x 5m 0 и х 5m+1 0 близки друг к другу. В качестве на чального приближения берется точка x 5m 0 , а следовательно , между x 5m 0 и x 5m+1 0 будет существовать итерационный процесс.
Для аналитического исследования свойств метода Эйлера линеа ризуется исходная система ОДУ x' = F(x, t) в точке (x 5m 0, t 4m 0): x' = A*x,
где матрица А зависит от точки линеаризации (x 5m 0, t 4m 0). Входной сигнал при линеаризации является неизвестной функцией времени и при фиксированном t 4m 0 на шаге h 4m 0 может считаться констан той. Ввиду того , что для линейной системы свойство устойчивости за висит лишь от А, то входной сигнал в системе (1) не показан. Элемен ты матрицы А меняются с изменением точки линеаризации, т. е. с измене нием m.
Характеристики метода:
1. _Численная устойчивость ...
Приведя матрицу А к диагональной форме : А = Р* 7l 0*Р 5-1 0 и перейдя к новым переменным y = P 5-1 0*x , система (3) примет вид : y' = 7l 0*y (4)
Тогда метод Эйлера для уравнения (4) будет иметь вид :
y 5m+1 0 = y 5m 0 + h* 7l 0 * y 5m+1 0, (5)
где величина h* 7l 0 изменяется от шага к шагу.
В этом случае характеристическое уравнение для дискретной сис темы (5) будет иметь вид :
1 - h* 7l 0*r - 1 = 0.
А корень характеристического уравнения равен:
r = 1/(1-h* 7l 0) ,
где 7l 0 = 7 a 0 _+ . 7 b 0 .
