Исследование устойчивости - (реферат)
p>Эта система уравнений при определении неизвестных коэффициентов Cн имеет нетривиальное, отличное от нуля решение, если определитель ее D(л) равен нулю: гдеУравнение (15) представляет собой характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений (12) и является алгебраическим уравнением n-ой степени относительнол:
где aн-постоянные коэффициенты характеристического уравнения, которые определяются коэффициентамиaнi определителя (16) и системы (12). Уравнение (17) имеет в общем случае n различных комплексных корней: где лi’, лi’’-соответственно действительные и мнимые части корней, а j-мнимая единица. Тогда общее решение системы (12) будет равно сумме всех частных решений (13) и может быть представлена в виде:
где постоянные Cнiопределяются конкретными начальными условиями задачи, т. е. начальными возмущениями системы.
На основании общего решения задачи о возмущенном движении линейной системы (12), полученного в виде соотношений (19), (18) можно сделать следующие выводы об устойчивости.
1. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны
то выполняется условие (6). В этом случае линейная система асимптотически устойчива.
2. Если среди корней характеристического уравнения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью
то в решении xн(t)(19) будет присутствовать хотя бы одно слагаемое, которое с течением времени будет неограниченно нарастать. В этом случае линейная система неустойчива. 3. Если среди корней характеристического уравнения нет корней с положительной вещественной частью (21), однако имеются корни с вещественными частями, равными нулю
то выполняется условие (5). В этом случае линейная система просто устойчива.
Положения Ляпунова об устойчивости исходной нелинейной системы.
Обратимся теперь к нелинейной системе (7). А. М. Ляпунову удалось показать, что на основе анализа линеаризованной системы (12) можно сделать довольно существенные выводы и о поведении исходной нелинейной системы. Сформулируем следующие основные положения Ляпунова, которые примем без доказательств. 1. Если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные вещественные части (20), то невозмущенное движение исходной нелинейной системы устойчиво в обычном смысле (4), (5).
2. Если среди корней характеристического уравнения системы первого приближения найдется хотя бы один с положительной вещественной частью (21), то невозмущенное движение исходной нелинейной системы неустойчиво. 3. Если характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительной вещественной частью, однако имеет такие, у которых вещественные части равны нулю (22), то ответ на вопрос об устойчивости или неустойчивости исходной нелинейной системы дан быть не может на основании линейного анализа. Необходимо более глубокое нелинейное исследование. Т. о. , два первых положения описывают так называемые “некритические” случаи, в которых можно дать ясный ответ на вопрос об устойчивости нелинейной системы на основании исследования системы первого приближения. Третье положение соответствует “критическому” случаю, когда определенный вывод об устойчивости или неустойчивости нелинейной системы можно сделать только при дополнительном исследовании уравнений с учетом нелинейных слагаемых более высоких порядков малости, чем первый.
Методы анализа устойчивости линейных и линеаризованных систем.
Итак, для определения устойчивости такой системы необходимо определение всех корней ее характеристического уравнения до единого. Однако в системах высокого порядка вычисление корней весьма затруднительно. При этом часто приходится прибегать к численным методам, что еще более затрудняет задачу. Чтобы избежать указанных трудностей и не вычислять вообще корней характеристического уравнения был разработан ряд методов, так называемых критериев устойчивости. При их помощи можно определить характер устойчивости или неустойчивости системы, не вычисляя корней характеристического уравнения. В настоящее время известно множество критериев устойчивости, позволяющих решать задачу при различных, конкретных условиях. Таковы алгебраический критерий Гурвица, критерий Рауса, частотный критерий Найквиста с различными дальнейшими модификациями, например, Михайлова, и др. Несмотря на формальное различие перечисленных критериев друг от друга, по сути все они основаны на известной теореме теории функций комплексного переменного, а именно, теореме Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области. Поскольку критерии устойчивости обстоятельно изложены в литературе, в дальнейшем ограничимся подробным рассмотрением лишь двух из множества критериев: Гурвица и Рауса.
Необходимое условие устойчивости.
Пусть характеристическое уравнение линейной или линеаризованной системы уравнений (12) возмущенного движения представлено в виде (17), причем, для определенности
В противном случае уравнение умножают на –1.
Нетрудно доказать следующее необходимо условие устойчивости. Для устойчивости линейной системы любого порядка необходимо, но не достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными. Иными словами, если линейная система устойчива, то коэффициенты ее характеристического уравнения положительны, но не наоборот. При доказательстве положим, что система заведомо устойчива, т. е. все корни ее характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части:
Характеристическое уравнение (17), как известно, можно записать в виде:
Тогда, подставляя (24) в (25), получим
Последнее соотношение можно записать в следующей форме:
Легко сообразить, что, раскрывая скобки и перемножая сомножители в последнем выражении, можно получить только положительные коэффициенты в характеристическом уравнении (17).
Тем самым доказано утверждение, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны (28), (23), если система устойчива.
Критерий Гурвица.
Гурвиц разработал критерий, который дает необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы. Приведем эту теорему без доказательства. Общий определитель Гурвица Дn имеет n столбцов и n строк и составляется из коэффициентов aн(23), (17) характеристического уравнения в соответствии со следующим выражением:
Частные определители Гурвица имеют вид:
и так далее. Общий определитель Дn может быть разложен по последнему столбцу и составит:
Критерий Гурвица формулируется следующим образом.
Для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы все n частных определителей Гурвица Дн, н=1, 2, .. n, получаемых из общего определителя (30), (31), составленного из коэффициентов а0, а1, а2, ....аn характеристического уравнения (17), были положительны: откуда, в частности, вытекает условие
Рассмотрим простейшие частные случаи систем 1-го, 2-го и 3-го порядков, имея в виду, что выполняется условие (23).
Тогда для системы первого порядка с характеристическим уравнением условием устойчивости в соответствии с критерием Гурвица будет Для системы второго порядка с характеристическим уравнением
условия устойчивости согласно критерию Гурвица примут вид:
Из последних двух условий получим:
Т. о. , для рассмотренных систем 1-го и 2-го порядков условие, что все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными, является также и достаточным для устойчивости. Иными словами для систем 1-го и 2-го порядков необходимое и достаточное условие устойчивости, сформулированное на основании критерия Гурвица, совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанном выше (28), (23), (17).
Наконец, рассмотрим систему третьего порядка с характеристическим уравнением Для которой на основании критерия Гурвица можно записать следующие условия устойчивости:
Из этих неравенств получаем:
Отсюда следует, что для линейных систем третьего порядка необходимое и достаточное условие, сформулированное с помощью критерия Гурвица, не совпадает с необходимым условием устойчивости, доказанным выше.
Таким образом, данные, полученные с помощью критерия Гурвица, позволяют судить об устойчивости систем 1-го и 2-го порядков непосредственно по виду их характеристических уравнений и знаку его коэффициентов; проведения других дополнительных исследований не требуется. Это очень часто весьма облегчает задачу. Для систем же, описываемых уравнениями 3-го и более высоких порядков, проведение специального исследования устойчивости является совершенно неизбежным.
Критерий Рауса.
Во многих случаях при анализе устойчивости решение характеристического уравнения (17) системы является длительным и трудным. Раусом был предложен метод, позволяющий определить характер корней характеристического уравнения (18) без непосредственного нахождения их. Этот метод позволяет получить важные сведения об устойчивости системы (12), не прибегая к громоздким математическим операциям.
Кратко метод заключается в следующем. Из коэффициентов характеристического уравнения составляется так называемая таблица Рауса в соответствии с записанным далее выражением.
ФОРМУЛА 42
В общем виде элементы таблицы Рауса по мере повышения номера ее строки представляются соотношениями чрезвычайно громоздкими. Однако, как будет показано ниже, при численных расчетах анализ значительно упрощается. Завершив процесс построения таблицы, исследуем первый ее столбец. Если знаки всех элементов этого столбца одинаковые, то характеристическое уравнение (17) не имеет корней с положительными вещественными частями. Если члены первого столбца не все имеют одинаковые знаки, то число корней с положительными вещественными частями равно числу изменений знаков.
