Исследование наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами - (диплом)
p>Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ОLq (Lq-класс всех вещественных измеримых на [a, b] функции f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка kі1 понимают функциюЛемма 3. Если то справедливо
(1. 7)
Доказательство. В самом деле,
и так далее. Лемма доказана.
Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a, b], то под её модулем гладкости порядка kі1 понимают функцию
заданную для неотрицательных значений и в случае, когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности. Свойства модулей гладкости:
есть функция, монотонно возрастающая;
есть функция непрерывная;
При любом натуральном n имеет место ( точное) неравенство
(1. 8)
а при любом -неравенство
(1. 8’)
5) Если функция f(x) имеет всюду на [a, b] непрерывные производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я производная , то (1. 9)
Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что
2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля непрерывности.
3) Предполагая для определённости, что d>d’, получим
Этим непрерывность функции wk(d) доказана.
4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем
Этим неравенство (1. 8) доказано. Неравенство (1. 8’) следует из монотонности функции wk(t) и неравенства (1. 8). 5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим
Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что функция есть модуль непрерывности k-го порядка функции f, если
где -конечная разность функции f k-го порядка с шагом h:
Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаиk=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо мы будем писать просто и называть эту функцию модулем непрерывности; функцию мы будем называть модулем гладкости. Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить, что функция -есть функция сравнения k-го порядка, если она удовлетворяет следующим условиям: определена для ,
не убывает,
,
Нетрудно показать, что если f є 0, то есть функция сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 §2). Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию сравнения k-го порядка . Будем говорить, что функция f принадлежит к классу , если найдётся константа С10>0 такая, что
Вместо будем писать просто Hka.
Если для последовательности функций {fn} (n=1, 2, ....)
где С10 не зависит от n, то будем писать: равномерно относительно n. Понятие классов является естественным обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченнуюk-ю производную.
Определение 10. Зафиксируем число a>0 и обозначим через p наименьшее натуральное число, не меньше чем a (p=-[- a]). Будем говорить, что функция принадлежит к классу , если она 1) есть функция сравнения p-го порядка и
2) удовлетворяет условию: существует константа С11>0 такая, что для
Условие 2) является небольшим ослаблением условия “ не убывает”. Функции класса Na будут играть основную роль во всём дальнейшем изложении. Определение 11. Будем говорить, что функция имеет порядок , если найдутся две положительные константы С12 и С13 такие, что для всех t, для которых определены функции и , .
При выполнении этих условий будем писать
.
Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция (1. 10)
Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом (1. 10’)
Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция (1. 11)
Ядро Фейера Fn(t) является средним арифметическим первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства (1. 11’)
(1. 11’’)
где Dk(t)-ядра Дирихле.
Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция (1. 12)
Свойства ядер Джексона.
а) При каждом n ядро Jn(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида ,
где jk=jk(n) - некоторые числа
б)
в)
г)
Доказательство.
а) Учитывая, что для ядер Fn(t) Фейера имеют место равенства получим
где jk(k=1, 2, ...., 2n-2) -некоторые числа, и в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций найдем
Этим свойство а) доказано.
б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0.
в) Так как при любом и при (**), то
г) Совершенно аналогично случаю в) получим
Что и требовалось доказать.
Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется функция , (1. 13)
n=1, 2, 3, ...., k-натуральное, где
(1. 13’)
Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:
а)
б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn, k(t) является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1) в) n2k-1, т. е. существуют постоянные С14>0 и С15>0, такие, что при всех n=1, 2, 3, .... будет
г) При любом s>0 имеет место неравенство
д) При любом натуральном
Доказательство свойств ядер типа Джексона.
а) Это свойство вытекает из равенств определения
б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в силу равенств (1. 11) и (1. 11‘’) будет
(1. 14)
где - некоторые целые числа.
в) Учитывая неравенства (**), будем иметь
(1. 15)
С другой стороны
(1. 15‘)
г) Это неравенство вытекает из первого равенства определения и неравенства (1. 15‘)
д) Действительно, с одной стороны, в силу неравенств (1. 15‘) и (**) (1. 16)
где A-const, а с другой стороны, учитывая соотношение (1. 15), неравенств (**) и из неравенства sintЈt, при всех tі0 (***), имеем
(1. 16‘)
A1-const. Неравенства (1. 16) и (1. 16‘) равносильны условию, что и требовалось доказать.
§2. Простейшие свойства модулей нерперывности.
Этот параграф носит вспомогательный характер. Здесь устанавливается несколько простейших свойств модуля нерперывности высших порядков. Все рассматриваемые здесь функцииf1, f2, .... - непрерывны.
ЛЕММА 1. Для любого натурального k и любого dі0
(2. 1)
Доказательство: по определению,
Лемма доказана.
ЛЕММА 2. Пусть f и l -натуральные числа, l
и
(2. 3)
Доказательство: Положим
Тогда для 0Јl откуда
Отсюда при l=0 вытекает, что
,
а при 0 Полагая в (2. 3) l=1, находим, что
Из этого неравенства видно, что для любого натурального k
. (2. 4)
ЛЕММА 3. Для любого натурального k модуль непрерывности k-го порядка является непрерывной функцией от d. Доказательство: Пусть Имеем
Отсюда
и
Таким образом
и так как при , то отсюда вытекает непрерывность функции , и лемма доказана. ЛЕММА 4. Пусть k и p-натуральные числа. Тогда для любого dі0 (2. 5)
Доказательство: Индукция по k даёт формулу
Отсюда
и
Лемма доказана.
ЛЕММА 5. Пусть k-натуральное число, d>0, h>0. Тогда
(2. 6)
Если кроме того 0 (2. 7)
Доказательство: Докажем сперва неравенство (2. 6). Рассмотрим случай для hЈd. Найдём натуральное число p из условий (2. 8)
Тогда h
Рассмотрим случай для h
Тогда h
и неравенство (2. 6) доказано. Неравенство (2. 7) вытекает из (2. 6), так как d+hЈ2h для 0
Лемма доказана.
ЛЕММА 6. Пусть f имеет r-ю производную f(r). Тогда
(2. 11)
и для любого натурального k
(2. 12)
Доказательство: Оба неравенства непосредственно вытекают из формулы
Если k=0, то мы получаем формулу (2. 11). Лемма доказана.
§3. Обобщение теоремы Джексона.
Здесь будет получено небольшое усиление теоремы Джексона о наилучших приближениях периодических функций тригонометрическими полиномами. Лемма 7. Пусть дано натуральное число k. Существует последовательность ядер{Kn(t)}(n=0, 1, ....), где Kn(t) есть тригонометрический полином порядка не выше n, удовлетворяющая условиям: (3. 1)
(3. 2)
(3. 3)
Эту лемму можно считать известной. Как показывает простой подсчет, совершенно аналогичный проводившемуся Джексоном, в качестве ядерKn(t) можно взять ядра Джексона достаточно высокой степени, то есть положить
