Быстрый поиск

Интеграл Пуассона - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Интеграл Пуассона

Пусть ¦(x) , g(x) , xОR1 –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку f*g(x) =dt

Из теоремы Фубини легко следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на[-p, p] и

cn ( f*g ) = cn ( f )Ч cn ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , .... ( 1 )

где { cn ( f )} -- коэффициенты Фурье функции f ( x ) :
cn = -i n tdt , n = 0, ±1, ±2, ј

Пусть ¦ О L1 (-p, p ) . Рассмотрим при 0 Ј r < 1 функцию ¦r ( x ) = n ( f ) r| n | ei n x , x О [ -p, p ] , ( 2 ) где ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 Ј r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦r (х) равны cn ( fr ) = cn Ч r| n | , n = 0 , ±1, ±2, ј , а это согласно (1) значит, что ¦r ( x ) можно представить в виде свертки : ¦r ( x ) = , ( 3 ) где

, t О [ -p, p ] . ( 4 ) Функция двух переменных Рr (t) , 0 Ј r
Следовательно,

Pr ( t ) = , 0 Ј r < 1 , t О [ -p, p] . ( 5 ) Если ¦О L1 ( -p, p ) - действительная функция , то , учитывая , что c-n ( f ) = `cn( f ) , n = 0, ±1, ±2, ј, из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) =
= , ( 6 ) где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 ( z = reix ) ( 7 ) аналитическая в единичном круге функция . Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции¦О L1( -p, p ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция u ( z ) = ¦r (eix ) , z = reix , 0 Ј r
v (z) = Im F (z) = . ( 8 ) Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге | z | < 1+e ( e>0 ) функция и ¦ (x) = u (eix) , xО[ -p, p ] . Тогда u (z) = ( z = reix , | z | < 1 ) ( 10 ).

Так как ядро Пуассона Pr(t) - действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

    =, | z | < 1+ e .
    Но тогда
    и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции ¦r (x) при r®1 , отметим некоторые свойства ядра Пуассона: а) ;

б) ;
в) для любого d>0

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)¦ (х) є 1.

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции ( -p, p ) , 1 Ј p < Ґ , имеет место равенство ;

если же ¦ (x) непрерывна на [ -p, p ] и ¦ (-p) = ¦ (p) , то .

    Доказательство.
    В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона
    ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

    .
    Следовательно,
    .

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, мы получим оценку .

    Аналогично второе неравенство вытекает из неравенства
    .
    Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы. Определение1.

Пусть функция суммируема на любом интервале (-А, А), А > 0 . Максимальной функцией для функции называется функция

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х. Определение 2.

Оператор называется оператором слабого типа (р, р) , если для любого y > 0 .

    Теорема 2 (Фату).
    Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда
    для п. в...
    Доказательство.
    Покажем, что для и
    , ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) []. Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

    (К - абсолютная константа).
    Пусть - такое число, что
    .
    Тогда для
    .

Неравенство (13) доказано. Используя затем слабый тип (1, 1) оператора , найдем такую последовательность функций , что ,

    ( 14 )
    для п. в...
    Согласно (13) при xО (-2p, 2p)

Учитывая , что по теореме 1 для каждого xО [-p, p] и (14) Из последней оценки получим

    при n®Ґ.
    Теорема 2 доказана.
    Замечание.

Используя вместо (13) более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п. в. xО [-p, p] , когда точка reit стремится к eix по некасательному к окружности пути. ? Мы считаем , что f (x) продолжена с сохранением периодичности на отрезок [-2p, 2p] (т. е. f (x) = f (y) , если x, y О [-2p, 2p] и x-y=2p) и f (x) = 0 , если |x| > 2p .