Быстрый поиск

Интеграл по комплексной переменной - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой , если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой , если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной ? , используя параметрическое задание кривой С зададим ? ?t? ?и? ? (t), где ? ?и? ?? являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть ? t i. ? ? i =? i – ? i-1. Составим интегрируемую функцию S = ? f (? *)? ? i . (1) где ? *– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max |? ? i |? 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек? i , то этот предел называется интегралом от функции f (? ) по кривой С. (2)

f (? i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)

где ? ? i = ? ?? (t) ? ?i? ?(t) (? ?(t) и? ?(t) - действительные числа) Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при? ? и ? ? ? ?0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функцийu и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (? ). Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.
При этом z = ? (? ).

7. ) Пусть Cp – окружность радиуса ? , с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : ? = Z0 + ? ?ei? , 0 ? ? ? 2? , d? = i? ?ei? d? . Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру– контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА: Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т. к. f(? ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(? ) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) : Пусть f (? ) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, ... , Сn (см. рис. ). Пусть f (? ) непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, ... , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z) аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и обозначим: интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф? (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

    ( 9)
    Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.
    Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) –аналитическая функция в односвязной области G, ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим вспомогательную функцию? (Z). Эта функция аналитична в области G всюду, кроме точки Z=Z0. Проведем контур ? с достаточным радиусом, ограничивающий точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области, заключенной между контурами Г и? . Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :
(2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в качестве? окружность ? ? с радиусом ? . Тогда:

    (3)
    Уравнение окружности ? ? : ? = Z0 + ? ei? ?? ?? ?? ?? (4)
    Подставив (4) в (3) получим :
    ( 5 )
    ( 6 )
    (7)
    Устремим ? ?? 0, т. е. ? ? 0.

Тогда т. к. функция f(? ) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а следовательно и непрерывна в G, то для всех ? >0 существует ? >0, что для всех ? из ? –окрестности точки Z0 выполняется | f(? ) – f(Z0) | < ? .

    (8)
    Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :
    Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :
    (9)
    Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической функции f(? ) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре ? , лежащем в области аналитичности функции f(? ) и содержащем точку Z0 внутри. Очевидно, что если бы функция f(? ) была аналитична и в точках контура С, то в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С. Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G имеет смысл для любого положения Z0на комплексной плоскости при условии, что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0 принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю : При Z0 ? Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-х комплексных переменных : переменной интегрирования? и Z0. Таким образом интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x + iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ? = ? + i? ? ? С. (С - граница G). Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? ) удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ? ?? ? С является аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ? ?? ?? являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что при сделанных предположениях :

Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива формула :

(2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и непрерывной в областиG(G включая граничные точки ), тогда во внутренних точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z) причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен 0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными (до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z) непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

(2) – разложение в ряд Тейлора.

Страницы: 1, 2