Быстрый поиск

Интеграл и его свойства - (реферат)

p>Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической подстановке. Интегралы вида (m, n є Z, m ? 0, n ? 0). Если хотя бы одно из чисел m и n –нечетное, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулыsin2x+cos2x=1 оставшуюся четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу. Интегралы вида , , (n є N, n > 1). Эти интегралы вычисляются подстановками tgx= t и ctgx=t соответсвенно. Если t=tgx, то x=arctgt, . Тогда:

.

Последний интеграл при n ? 2является интегралом от неправильной рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования рациональных дробей.

Аналогично если t=ctgx, то x=arcctgt, , откуда:

Интегралы вида (m, n є R). Они вычисляются путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:

Интегрирование иррациональных выражений.

Интегралы вида (m1, n1, m2, n2, … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов отх. Они вычисляются подстановкой x=ts, где s – общий знаменатель дробей , , … При такой замене переменной все отношения = r1, = r2, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменнойt:

Интегралы вида (m1, n1, m2, n2, … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:

где s – общий знаменатель дробей , , …, сводятся к рациональной функции от переменной t. Интегралы вида Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:

    и применяется подстановка:
    , dx=du.
    В результате этот интеграл сводится к табличному:

В числителе интеграла I2выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:

где I1 – вычисленный выше интеграл.

Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:

Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок. Квадратный трехчлен ax2+bx+cпутем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:

Интеграл подстановкой
u=ksint (или u=kcost)

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost. Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома, выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях: если p є Z, то применяется подстановка:

    x=ts,
    где s – общий знаменатель дробей m и n;
    если Z, то используется подстановка:
    a+bxn=ts,
    где s – знаменатель дроби
    если Z, то применяется подстановка:
    ax-n+b=ts,
    где s – знаменатель дроби
    Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.

Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы (8) - (8)

при ? >0, не зависящий от способа разбиения ? n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ? k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования. Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения? стремится к нулю. Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ? 0. Фигура, ограниченная графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1), называется криволинейной трапецией. Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический смысл: произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно, что эта площадь зависит от разбиенияфn отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора точек оk. Чем меньше , k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадьS криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при л>0:

Таким образом, с геометрической точки зрения определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Основные свойства определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенного интеграла.

Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл равен нулю:

    Это свойство следует из определения интеграла.
    Если f(x)=1, то
    Действительно, так как f(x)=1, то

При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: R.

Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:

6 (аддитивность определенного интеграла). Если существует интегралы и то существует также интеграл и для любых чисел a, b, c;

7. Если f(x) ? 0 [a; b], то
a < b.

8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые функции f(x) и ц(x) удовлетворяют неравенству f(x) ? ц(x) [a; b], то a >b.

9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М –соответственно нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке [a; b], то

a < b.

10 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке? отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.

Теорема о среднем.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка [a; b], что

Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрированияa и b. Если оставить постоянным нижний предел интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида: x є [a; b],

называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования – буквой х. Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела:

Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.

- (9)

Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле. Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т. е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной форме. Применение замены переменной в определенном интеграле базируется на следующей теореме.

Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а функция x=ц(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем ? ([t1; t2])=[a; b] и ? (t1)=a, ц(t2)=b, то справедлива формула: - (10)

Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на отрезке [a; b]: - (11)

    С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
    Следовательно, формула (11) принимает вид:
    - (12)

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x) ? 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по формуле:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ? f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:

где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ? 0 при t1 ? t ? t2]. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнениемс=с(и) и двумя полярными радиусами и=б, и=в (б < в), выражается интегралом:

Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой. Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е. производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле:

При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) –непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметраt от t1 до t2, вычисляется по формуле:

Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах уравнением с=с(и), б ? и ? в, то длина дуги равна:

Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется формулой:

где y=f(x) [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется. Обозначим верхний предел буквойх, а переменную интегрирования буквой t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:

Практические задания

Найти неопределенный интеграл, результат проверить дифференцированием:

    1) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    2) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

__________________________________________________________________________________

    3) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    4) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    5) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    6) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    7) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    8)
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

__________________________________________________________________________________

    9) .
    Решение:
    Проверка:
    - верно.

___________________________________________________________________________

    2. Найти неопределенные интегралы:
    1) .
    Решение:

___________________________________________________________________________

2) .
Решение:

___________________________________________________________________________

3) .
Решение:

___________________________________________________________________________

4) .
Решение:

___________________________________________________________________________

5) .
Решение:

___________________________________________________________________________

6) .
Решение:

___________________________________________________________________________

7) .
Решение:

___________________________________________________________________________

8) .
Решение:

___________________________________________________________________________

9) .
Решение:

___________________________________________________________________________

10) .
Решение:

__________________________________________________________________________________ 11) .

Решение:

___________________________________________________________________________

12) .
Решение:

___________________________________________________________________________

13) .
Решение:

___________________________________________________________________________

14) .
Решение:

___________________________________________________________________________

15) .
Решение:

___________________________________________________________________________

    Вычислить определенный интеграл:
    1) .
    Решение:

___________________________________________________________________________

2) .
Решение:

___________________________________________________________________________

3) .
Решение:

____________________________________________________________________________

    Найти несобственные интегралы или доказать их расходимость:
    1) .
    Решение:
    - интеграл I рода.
    - сходящийся.

____________________________________________________________________________

    2) .
    Решение:
    - интеграл II рода.
    - расходящийся.

____________________________________________________________________________

3) .
Решение:

___________________________________________________________________________________

Страницы: 1, 2