Геометрия - (реферат)
p>До сих пор, рассматривая материальную точку, то есть пару вида (А, т), мы всегда полагали, что её «масса» (или «вес») — положительноечисло. Для решения некоторых геометрических задач весьма полезно рассмотреть и такой случай, когда это числот может быть произвольным действительным числом. Такую пару мы, сохраняя старую терминологию, будем по-прежнему называть материальной точкой, а для числатсохраним старое название «масса» (или «вес»). Как же себе наглядно представить «материальную точку» с отрицательной «массой»?Приведём одну конкретную физическую картину, которая позволит читателю наглядно представить материальные точки с произвольными вещественными «массами». Пусть имеется какой-то бассейн, заполненный водой. Пусть шарик, который висит в воздухе (точнее, в пустоте)р единиц (скажем, р грамм), помещён в какую-то точку А внутри этого бассейна. Рассмотрим сначала случай, когда удельный вес шарика больше 1 (например, когда шарик железный). Понятно, что шарик пойдёт в этом случае ко дну. Еслипод водой взвесить этот шарик (скажем, с помощью пружинных весов), то весы покажут меньше, чем рединиц. Нетрудно, если будет необходимость, узнать, сколько будет весить шарик под водой. Пусть удельный вес шарика равенd, а объём V. Тогда V=p/d. Считая удельный вес воды равным 1, найдём что вес воды в объёме, занимаемом шариком, равен(p/d)Ч1=p/d. В силу закона Архимеда вес т шарика под водой (его «подводный вес») определяется по такой формуле: (*)
Понятно, что т — подводный вес шарика —это результирующая сила, которая получается от сложения двух сил, действующих на шарик: силы тяжести и выталкивающей силы воды.
Обратим внимание на то, что в рассматриваемом случае (при d>1) m>0 и эта сила направлена вниз. Пусть теперь удельный вес шарика меньше 1 (например, когда шарик сделан из пробки). В этом случае шарик будет выталкиваться из воды («вверх»). Результирующая силаm, под действием которой шарик будет выталкиваться вверх, будет в соответствии с законом Архимеда равна по-прежнему
,
но теперь это выражение отрицательно (ибо d0) выражение (*) характеризует величину результирующей силы, которая действует на шарик; она направлена «вниз» прит>0 (т. е. при d>1) и «вверх» при т0 мы эту силу назвали «подводным весом шарика». То же название мы сохраним и при тЈ0. Таким образом, подводный вес шарика может выражаться как положительным, так и отрицательным числом или нулём. Перейдём теперь к наглядному истолкованию «материальных точек». Материальную точку (А, т) при любом т(положительном, отрицательном или равном нулю) мы можем наглядно представлять в виде шарика, размерами которого можно пренебречь, помещённого в точкеА и имеющего подводный вес т. Значит, то число т, которое мы условились называть «массой» материальной точки, мы истолковываем, как«подводный вес шарика». При т>0 мы материальную точку (А, т) наглядно представляем в виде шарика, тонущего в воде (например, железного). При т
Если будет идти речь о двухматериальных точках, то мы их можем себе наглядно представлять нанизанными на тонком прямолинейном стержне, изготовленном из той же «невесомой» (в воде) пластмассы, о которой мы говорили выше. Ниже мы будем говорить оцентре тяжести двух материальных точек. Практически этот центр тяжести можно наглядно представить как точку, в которой нужно подпереть или за которую нужно подвесить невесомый (в воде) стержень для того, чтобы он вместе с нанизанными на нём «материальными точками» оказался в безразличном равновесии. Всегда ли найдётся такая точка на этом стержне междуэтими двумя «материальными точками»? Не может ли она оказаться вне отрезка, соединяющего данные материальные точки? Не может ли случиться, что такой точки вовсе нет? Это мы выясним ниже.
Аналогичным образом можно себе представить центр тяжести любого числа материальных точек. Встречающееся ниже понятие «объединение нескольких материальных точек» можно наглядно истолковать какравнодействующуюподводных весов всех тех шариков, которые наглядно изображают эти материальные точки.
Иногда полезно дать более широкое наглядное толкование понятия материальной точки с произвольной вещественной «массой».
A B C D
рис. 5
Сделаем одно предварительное замечание. На каждой прямой мы можем выбрать положительное направление и единицу масштаба. Если это уже сделано, то прямую иногда называютосью.
Каждый отрезок (скажем, АВ) можно рассматривать как направленный, причём сначала мы называем начало отрезка (А), а затем — его конец (В); направление отрезка — от А к В. Если отрезок лежит на оси (или параллелен ей), то его направление может: совпадать с направлением оси;
быть противоположным направлением оси.
В первом случае мы величиной отрезканазываем его длину; во втором случае величиной отрезка мы называем его длину, взятую со знаком минус (-).
Таким образом, величина отрезка, лежащего на какой-нибудь оси, или параллельного оси —это его длина, взятая со знаком плюс или минус, в зависимости от того, будут ли направление отрезка и оси одинаковы или противоположны. Величину отрезкаАВ будем обозначать так: АВ. В нашем примере (рис. 5) АВ=3, DC= -2, ВА= -3. Вообще АВ= -ВА. Вернёмся теперь к вопросу о возможном физическом истолковании материальных точек с произвольными вещественными массами.
Мы будем представлять, что в пространстве произвольным образом выбрана какая-либо осьl. Материальную точку (А, т) можно наглядно истолковать как силу, параллельную оси l и приложенную к точке А. Число т(«масса») характеризует абсолютную величину (или, как говорят иногда, «напряжение») и направление этой силы: сила и ось одинаково направлены, еслит>0, и противоположно направлены, если т
С
В
рис. 6
Когда будем ниже говорить о «центре тяжести нескольких материальных точек», то его можно себе наглядно представлять какцентр параллельных сил, а «объединение нескольких материальных точек» —как равнодействующую нескольких параллельных сил, приложенную в центре параллельных сил.
Для геометрических приложений важно, что почти всё основное, что мы говорили относительно материальных точек сположительными массами, возможно обобщить на случай материальных точек с произвольными вещественными массами. Понятие центра тяжести двух материальных точек (с произвольными вещественными массами) можно ввести так.
Центром тяжести двух материальных точек (А, а) и (B, b) (рис. 6) называется такая точка С, лежащая на оси АВ (положительное направление от А к В), которая удовлетворяет условию: аЧАС=bЧСВ. А
В
С
рис. 7
Центр тяжести С двух материальных точек (А, а) и (B, b) будет лежать между А и В, лишь если «массы» а и b одного знака. Если а и b разных знаков, то С вне отрезка АВ (рис. 7). Лишь в одном случае центр тяжести материальных точек (А, а) и (B, b) с различными носителями (А№В) не существует, —именно, когда массы их противоположны по знаку, но не равны по абсолютной величине (то есть, еслиа = -b № 0). В связи с этим мы будем называть две материальные точки вида (А, а) и (В, -а) (А№В, а№0) механической парой. Этот случай можно себе представить как предельный для того случая, когда а№-b, но а® -b. Если а№-b, а№0, b№0, то можно написать , т. е... Если а ® -b, то а + b ® 0 и, следовательно, АС ® Ґ, то есть точка С неограниченно удаляется вдоль прямой АВ. Поэтому иногда говорят, что если a = -b, то центр тяжести двух материальных точек (А, а) и (B, b) «лежит в бесконечно удалённой точке прямой АВ». Оставаясь здесь в рамках элементарной геометрии, мы будем эту фразу рассматривать как образное выражение того, что центра тяжести в данном случае нет.
Если одна из двух материальных точек является незагруженной, а “масса” другой материальной точки отлична от нуля, то их центр тяжести совпадает с носителем загруженной точки. В связи с этим имеет смысл все незагруженные точки считать равными, то есть считать, что при любыхА и В ( А, 0) єє (В, 0). Задача о нахождении центров тяжести двух незагруженных точек является неопределенной: существует бесконечно много точек, которые можно рассматривать в качестве центров тяжестей этих двух точек. Мы не будем останавливаться на рассмотрении этого случая.
Идея барицентрических координат.
Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС (рис. 8), который в дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником Мебиуса. Пусть р№0 и (Р, р) ѕпроизвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точекА, В, С такие массы а, b, с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Это можно себе представить следующим образом. Ясно, что не может быть одновременно РАЅЅ ВС, РВЅЅ СА, РСЅЅ АВ. Пусть, для определённости, РА и ВС не параллельны. Соединим Р с А и отметим точку А1, в которой АР встречает прямую ВС. Подберём три действительных числа а, b, c так, чтобы bЧBA1 = cЧA1C,
aЧAP = (b + c)ЧPA1,
a + b + c = p.
Это всегда возможно сделать. Тогда
(P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c).
Обратно, если возьмём три произвольных действительных числа a, b, c, причём a + b + c № 0, то существует вполне определённая материальная точка (Р, р) такая, что (Р, р) = (A, a) + (B, b) + (C, c). Таким образом, каждую материальную точку Рє(Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массамиa, b и с, которые надо поместить в вершинах базисного треугольника, чтобы точка Р оказалась объединением трёх образующихся при этом материальных точек (A, a), (B, b) и (C, c). Эти три числа называют барицентрическими координатами материальной точки Р («барицентр» означает «центр тяжести»): а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья. Понятно, что те же три числа a, b, c определяют также положение носителя материальной точки Р. Поэтому эти три числа называют также барицентрическими координатами (геометрической) точкиР.
Таким образом, выражение «барицентрическими координатами точки Р служат числа a, b, c» означает только то, что имеет место равенство (A, a) + (B, b) + (C, c) = (P, p),
где
p = a + b + c.
Если массы трёх материальных точек увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится. Поэтому барицентрическими координатами геометрической точкиР будут также числа kЧa, kЧb, kЧc, где k — любое действительное число, не равное нулю. Итак, геометрическая точка Р (в отличие от материальной точки Р) имеет бесконечно много троек барицентрических координат, причём каждая из этих троек может быть получена из какой-либо одной тройки (a, b, c) путём умножения на какую-либо константу k, отличную от нуля. Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точкаР — на какой-либо сторонекоординатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точкиР — одного знака, а третья имеет противоположный знак. Если точка Р расположена внутри базисного треугольника ABC, то в качестве её барицентрических координат можно принять площади треугольниковBPC, CPA и APB.
Применение барицентрических координат позволяет внести одно существенное упрощение в рассуждения, связанное с рассмотрением материальных точек : рассмотрение любых произвольно расположенных материальных точек в любом числе сводится к рассмотрению только таких материальных точек, которые имеют носителями вершины базисного треугольника.
Страницы: 1, 2
