RSS    

   Геометрическая прогрессия - (реферат)

Геометрическая прогрессия - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

    Ставропольский Государственный Университет
    РЕФЕРАТ
    по теме:
    ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
    ПРОГРЕССИЯ
    работу выполнил:
    студент Ставропольского
    Государственного Университета
    IV курса, Физ-Мат Факультета,
    отделения МИИТ, гр. ”Б”
    Неботов Виталий Дмитриевич
    Ставрополь 1997 г.
    СОДЕРЖАНИЕ :
    Стр.
    1. Вступительное

слово..............................................................................................................................3 2. Определение геометрической прогрессии...........................................................................3 3. Свойства геометрической прогрессии..................................................................................... 3 4. Сумма геометрической прогрессии........................................................................................... 4 5.

Заключение......................................................................................................................................................5 6. Список использованной литературы..........................................................................................6

Геометрическая прогрессия играет большую и важную роль не только в школьном курсе алгебры, но и (как я мог убедится) в дальнейшем обучении в высших учебных заведениях. Важность этого на первый взгляд небольшого раздела школьного курса заключается в его чрезвычайно широких областях применения, в частности он часто применяется в теории рядов, рассматриваемой на II-III курсах университета. Поэтому мне кажется крайне важным дать здесь полное описание этого курса, дабы внимательный читатель мог повторить уже известный ему (надеюсь -прим. автора) из школьного курса материал, или даже почерпнуть много нового и интересного. Прежде всего необходимо дать определение геометрической прогрессии, ибо не определившись о предмете разговора невозможно продолжать сам разговор. Итак: числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и тоже не равное нулю число, называется геометрической прогрессией. Внесу некоторую ясность в данное выше определение: во-первых, мы требуем от первого члена неравенства нулю для того, что при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии и не будет являться предметом нашего дальнейшего рассмотрения.

Во-вторых, число на которое умножаются члены прогрессии опять же не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

В-третьих, предоставляю возможность вдумчивому читателю самому найти ответ на вопрос, почему мы умножаем все члены прогрессии на одно и тоже число, а не, скажем, на разные. Ответ не так прост, как может показаться вначале. Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2: b1 = b3: b2 = .... = bn: bn-1 = bn+1: bn= ...... Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

Несколько слов необходимо сказать и о способах задания геометрической прогрессии. Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель q. Например, условиями b1= 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, ...... Эта прогрессия не является ни возрастающей ни убывающей последовательностью. Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей) если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего.

Таким образом, если q > 0 (q1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1= -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, .... есть монотонно убывающая последовательность.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.

    .

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ного члена геометрической прогрессии есть еще одна формула. Для того чтобы найти любой член геометрической прогрессии необходимо, чтобы она была задана, т. е. были известны значения b1 и q:

    .

Так как геометрическая прогрессия это числовая последовательность, то мы можем найти ее сумму. Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1qn-1, то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn = b2bn-1= .... , т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Наконец, нельзя не коснуться такого важного с научной точки зрения понятия, как бесконечной геометрической прогрессии при. Здесь наиболее важным понятием является понятие суммы бесконечной геометрической прогрессии: пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию, называется предел суммы n первых ее членов при .

    Найти эту сумму можно по следующей формуле:

Заканчивая описание геометрической прогрессии хочется лишний раз повторить, что за видимой простотой геометрической прогрессии скрывается большой прикладной потенциал этого раздела алгебры.

    Список использованной литературы:
    1. В. С. Крамор, Повторяем и систематизируем школьный курс
    алгебры и начал анализа, Москва, Просвещение, 1990 г.

2. С. А. Теляковский, Алгебра, учебник для 8 класса средней школы, Москва, Просвещение, 1987 г.

    3. Личные заметки и наблюдения автора.


Новости


Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

                   

Новости

© 2010.