Быстрый поиск

Элементарные конфортные отображения - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Элементарные конфортные отображения
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек и . Если задан закон , ставящий в соответствие каждому точку (или точки) , то говорят, что на множестве задана функция комплексной переменной со значениями в множестве . Обозначают это следующим образом: . (Часто говорят также, что отображает множество в множество . ) Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций и тогда , где , . Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них. 1. - линейная функция. Определена при всех . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость . Функция и обратная ей - однозначны. Функция поворачивает плоскость на угол, равный , растягивает (сжимает) ее в раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину . Непрерывна на всей комплексной плоскости. 2... Определена на всей комплексной плоскости, причем , . Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки . Отображает полную комплексную плоскость на полную комплексную плоскость , причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.

3. - показательная функция. По определению , т. е. , , . Из определения вытекают формулы Эйлера: ; ; ;

Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом . Отображает каждую полосу, параллельную оси , шириной в плоскости в полную комплексную плоскость . Из свойств отметим простейшие: , 4. - логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению: . Выражение называется главным значением , так что . Определен для всех комплексных чисел, кроме . - бесконечно-значная функция, обратная к . , 5. - общая показательная функция. По определению, . Определена для всех , ее главное значение , бесконечно-значна. 6. Тригонометрические функции ; ;; По определению, ; ;

;

7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:

    ,
    Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
    Задачи с решением.

1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: , , , , Решение. По определению, , , ; если , то очевидно, , ,

    , ,
    , , ,
    , , ,
    Найти суммы:
    1)
    2)
    Решение. Пусть: , а

. Умножим вторую строчку на , сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим: ; Преобразуя, получим:

    ,
    3. Доказать, что: 1) 2)
    3) 4)
    Доказательство:
    1) По определению,
    2)
    3) ;

Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1); 2) ; 3) ; Решение: и, учитывая результаты предыдущего примера, получим: , , ,

    Напомним, что
    2)
    , ,
    3)
    , ,
    , .

Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ; ; Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:

    ; ; ; ;
    ;
    Вычислить: 1) ; 3) ; 5) ;
    ; 4) ; 6) ;
    Решение. По определению, ,
    1), , ,
    , , ,
    , , ,
    4), , ,
    5), , ,
    6), , ,
    Найти все значения следующих степеней:
    1) ; 2) ; 3) ; 4);

Решение. Выражение для любых комплексных и определяются формулой 1)

    2)
    3)
    4) .
    8. Доказать следующие равенства:
    1) ;
    2) ;
    3)
    Доказательство: 1) , если , или , откуда , или .
    Решив это уравнение, получим , т. е. и
    , если , откуда , или , следовательно,
    ,
    3) , если , откуда , или
    .
    Отсюда , следовательно,