Двойной интеграл в полярных координатах - (реферат)
Двойной интеграл в полярных координатах - (реферат)
Дата добавления: март 2006г.
Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения
РЕФЕРАТ
Выполнил студент
группы 60-5ЭВТ
Немцев Михаил
Краснодар
1998г.
Двойной интеграл в полярных координатах
Пусть в двойном интеграле
(1)
при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos j, y = r sin j. (2)
Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки DSi с помощью координатных линий r = ri (окружности) и j = ji (лучи) (рис. 1). Введем обозначения:
Drj = rj+1 - rj,
Dji = ji+1 - ji
Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейкиDSi с точностью до бесконечно малых высшего порядка
малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениямиrjDji и Drj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна: DSi = rj Dji Drj (3)
Что касается ячеек DSij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.
В качестве точки Mij $ Sij для простоты выберем вершину ячейки DSij с полярными координатами rj и ji. Тогда декартовые координаты точки Mij равны: xij = rj cos ji, yij = rj sin ji.
И следовательно,
f(xij, yij) = f(rj cos ji, rj sin ji) (3')
Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым
интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), получаем:
(4)
где d - максимальный диаметр ячеек DSijи сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в областиS. С другой стороны, величины ji и rjсуть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскостиOjr. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции f(r cosj, r sinj)r,
соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Dji и Dri. Следовательно (5)
Сравнивая формулы (4) и (5), получим окончательно
(6)
Выражение
dS = r dj dr
называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координатыx и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).
Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрированияS определяется неравенствами
Где r1(j), r1(j) - однозначные непрерывные функции на отрезке [a, b]. (рис 2). Имеем
(8)
Где
F(r, j) = rf(r cosj, r sinj)
Пример 1.
Переходя к полярным координатам j и r, вычислить двойной интеграл Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0, 0) (рис 3). Так как
то применяя формулу (6),
получим
Область S определена
Неравенствами
Поэтому на основании формулы (8) имеем
Пример 2.
В интеграле
(9)
перейти к полярным координатам.
Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4). В полярных координатах уравнения
этих прямых записываются
следующим образом: j=0,
j=p/4, r cosj=1 и,
следовательно, область S
определяется неравенствами
Отсюда на основании формул
(6) и(8), учитывая, что
имеем