Дифференциальные уравнения I и II порядка - (реферат)
p>Его общее решение имеет вид , где - некоторая первообразная для функции g(x). Предположим теперь, что , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x, c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения. Представим исходное уравнение в виде,
и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, , т. е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид ,
являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным).
Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде
,
где A – произвольная постоянная. Очевидно, является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении, т. е.
.
Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной , то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид .
В нем второй множитель функция является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения. Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x). Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x, c), получаем тождество
.
Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения
Представляется в виде y=u(x, c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения , решаемое при c=1, u(x, c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x). Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными.
Заметим, что хотя при решении однородного уравнения бралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0, Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.
На втором этапе определяется решение u(x, c) дифференциального уравнения u/v(x)=h(x), Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде Y=u(x, c)v(x).
Пример 1. Решить уравнение
Y/+2y=sinx.
Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.
Из него получаем
или .
Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида .
Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение.
Далее решаем уравнение вида
или .
Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения
.
Вычислим интеграл:
.
Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид
.
Следовательно, .
Тогда общее решение исходного уравнения будет
.
Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0, 0), т. е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c:
, отсюда .
Искомым частным решением является
.
Пример 2. Решить уравнение
,
являющееся линейным дифференциальным уравнением.
На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения , или .
Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем
.
Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение .
На втором этапе решаем уравнение вида
.
Делая замену , сокращая обе части уравнения на и разделяя переменные, имеем du=x2dx. Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение .
Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .
6. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах. Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде
M(x, y)dx+N(x, y)dx=0,
Где M(x, y) и N(x, y) –функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x, y), т. е.
dU(x, y)=M(x, y)dx+N(x, y)dy,
то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде dU(x, y)=0,
а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x, y)=0. Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т. д. ).
Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.
Путьс
dU(x, y)=M(x, y)dx+N(x, y)dy, тогда функции M(x, y) и N(x, y) должны быть для U(x, y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т. е.
.
Предполагая функции M(x, y) и N(x, y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т. е. выполнение соотношений ,
из тождества
получаем, что для M(x, y) и N(x, y) должно выполняться условие .
Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x, y)dx+N(x, y)dy=0
Было уравнением в полных дифференциалах.
Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа.
На первом этапе функция U(x, y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение . Тогда соотношению
ставится в соответствие дифференциальное уравнение
.
Пусть его общее решение представляется в виде
.
Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т. е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид
U(x, y)=g(x, y)+h(y).
На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению ,
в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.
Используя данное соотношение и вид функции U(x, y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:
или .
Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
.
Из , получаем окончательный вид функции U(x, y), а именно
или
.
В последнем двойном интеграле вместо можно взять функцию (т. к. ). Тогда функция U(x, y) получает вид .
Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x, y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения
или
.
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение
(6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0.
В нем M(x, y)=6x2y2+6xy-1, N(x, y)=4x3y+3x2y+2y. Из и тождества , Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа.
На первом решаем уравнение
или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,
в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем
U(x, y)=2x3y2+3x2y-x+h(y).
На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение
и дифференциальное уравнение для h и y
4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y или .
Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде 2x3y2+3x2y-x+y2=c.
Пример 2. Найти решение уравнения
2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0.
Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x, y)=2xsiny, N(x, y)=3y2+x2cosy
Находим
.
Так как, очевидно, выполняется условие
,
то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Сначала решаем уравнение
или dU=2xsinydx,
считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает
U(x, y)=x2siny+h(y).
Затем находим функцию h(y), используя соотношения
, с одной стороны, и , с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению или .
Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде X2siny+y3+c=0.
Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т. е. удовлетворяет соотношению
U(x, y)=c.
Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x, y)=0 или M(x, y)dx+N(x, y)dy=0,
Где .
Предположим теперь, что частные производные функции U(x, y) представимы в виде .
Тогда соотношению U(x, y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида
M(x, y)g(x, y)dx+N(x, y)g(x, y)dy=0.
Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x, y), то получим уравнение M(x, y)dx+N(x, y)dy=0.
Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет
.
В то же время после умножения его на множитель g(x, y), оно становится уравнением в полных дифференциалах.
Определение. Функция g(x, y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения
M(x, y)dx+N(x, y)dy=0,
Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах.
Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя.
Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x, y). Из предложения, что уравнение
M(x, y)g(x, y)dx+N(x, y)g(x, y)dy=0
Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия .
Разверернув левую и правую части этого тождества
,
заключаем, что функция g(x, y) должна являться решением уравнения .
В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще.
Случай первый. Пусть
.
Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x.
Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду ; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения
или ,
интегрируя которое, находим
, т. е...
Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда
.
Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т. е. g=g(y). Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения
и представляется в виде
.
Пример 3. Дано уравнение
(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0.
Из M(x, y)=y2-3xy-2x2, N(x, y)=xy-x2, , следует , т. е. уравнение не является в полных дифференциалах. Однако из соотношения
вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Указанный множитель находим из уравнения
,
интегрируя которое получаем , или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.
Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем
(xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0,
являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим ,
,
затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x, y)=x2y-x3
получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т. е. и,
следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид .
Пример 4. Требуется решить уравнение
(2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0.
Из M(x, y)=2xy2-y, N(x, y)=y2+x+y, следует
.
Однако из соотношения
,
вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель находится из уравнения
.
Интегрируя его, получаем .
Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению .
Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его ,
,
затем из и ,
получаем
или .
Интегрируя последнее уравнение, имеем .
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид .
7. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий общий вид
F(x, y, y/, y//)=0 или .
Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y//+py/+qy=h(x),
где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.
Если в этом уравнении , то оно называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка.
Рассмотрим решение однородного уравнения
.
Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение вида , Называемое характеристическим. Его корни, как известно, определяются формулами .
Возможны следующие три случая для вида корней этого уравнения: 1) корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и равные; 3) корни уравнения –комплексно-сопряженные. Для каждого из этих случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего интеграла.
Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т. е. p2-4q>0. Тогда оба корня действительные и различные. В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид
,
где c1, c2 – произвольные постоянные.
Действительно, если , то , . Подставляя выражения для y, y/ и y// в уравнение получим
.
Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю, т. е p2-4q=0.
Тогда оба корня действительные и равные, т. е...
В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид .
Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен, т. е. p2-4q
Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая, общее решение однородного уравнения дается в виде .
Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения
y//+py/+g(y)\h(x),
где h(x) – некоторая функция от x.
Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y/=z, y//=z/, приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка z/+pz=h(x).
