Численные методы - (курсовая)
p>Рассмотрим нерегулярныйслучай, когда матрица, полученная в результате подобных преобразований приведена уже к видуи элемент . Таким образом обычная процедура метода Данилевского не подходит из-за необходимости деления на ноль.
В этой ситуации возможно два случая. В первом случае к-й
строке левее элемента есть элемент
Тогда домножая матрицу слева и справа на элементарную матрицу перестановок , получаем матрицу ,
у которой по сравнению с матрицей переставлены l -я и (k-1 )-я строка l-й и ( k-1)- й стодбец. В результате на необходимом нам месте оказывается ненулевой элемент, уже преобразованная часть матрицы не меняется, можно применять обычный шаг метода Данилевского к матрице. Она подбна матрице (и, следовательно, исходной матрице А ), т. к. елементарная матрица перестановок совпадает со своей обратной, т. е. Рассмотрим второй нерегулярный случай, когда в матрице элемент и все элементы этой строки, которые тоже находятся левее его, тоже равны нулю. В этом случае характеристический определитель матрицы можно представить в виде
где і - единичные матрицы соответствующей размерности, а квадратные матрицы и имееют вид:
Обративм внимание на то, что матрица уже нормальную форму Фробениуса, и поэтому сомножитель просто развертывается в виде многочлена с коэффциентами, равными элементам первой строки.
Сомножитель , есть характеристический определитель матрицы . Для развертывания можн опять применять метод Данилевского, приводя матрицу подобными преобразованиями к нормальной форме Фробениуса. Предположим теперь, что матрица А подобным преобразованиям
уже приведена к нормальной форме Фробениуса. Решая характеристическое уравнение
,
находим одним из известных методов его корни которые являются собственными значениями матрицы Р и исходной матрицы А. Теперь стоит задача отыскать собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, т. е. векторы такие, что
Решим ее следующим образом: найдем собственные векторы матрицы Р , а затем по определенному соотношению я пересчитаем собственные векторы матрицыА . Это соотношение дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА. Пусть є есть собственное значение , а есть соответствующий собственный вектор матрицы Р , которая подобна матрице А , т. е.
Тогда есть собственный вектор матрицы А , соответствующий собственному значению Доказательство. Тривиально следует из того, что
Домножая левую и правую часть этого равенства слева на S , имеем
А это и означает, что -собственный вектор матрицы А ,
отвечающий собственному значению
Найдем собственный вектор матрицы Р , которая имеет нормальную форму Фробениуса и подобна матрице А. Записывая в развернутой форме, имеем
или
В этой системе одна из переменных может быть сделана свободной и ей может быть придано произвольное значение. В качестве таковой возьмем и положим Тогда последовательно находим
,
т. е. искомый собственный вектор матрицы Р имеет вид
.
Если процесс приведения матрицы А к форме Р был регулярным, то
В соответствии с теоремой собственным вектором матрицы А для собственного значения будет вектор
Таким образом, задача вычисления собственных векторов матрицы А решена. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.
Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.
Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена
Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.
Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать
Пусть функция задана в двух точках и ее значения
Посстроим интерполяционный многочлен первой степени
Производная равна
Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена (1)
Величина называется первой разностной производной.
Пусть задана в трех точках
Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид
Берем производную
В точке она равна
Получаем приближенную формулу
(2)
Величина называется центральной разностной производной. Наконец, если взять вторую производную
получаем приближенную формулу.
(3)
Величина называется второй разностной производной.
Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования. Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть произвольные точки, Тогда существует такая точка что
Доказательство. Очевидно неравенство
По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство. Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма. Лемма 2.
1. Предположим, что Тогда существует такая точка , что
(4)
Если то существует такая точка , что
(5)
Когда то существует такая, что
(6) Доказательство. По формуле Тейлора
откуда следует (4).
Если то по формуле Тейлора
(7)
где
Подставим (7) в Получаем
Заменяя в соответствии с леммою 1
получаем
Откуда и следует (6).
Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).
Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):
Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно (или порядка ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности. Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования. Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству (8)
Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам
(9)
где - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин
Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :
(12)
при этом
(13)
Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок не выходит за пределы окрестности точки , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальными полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).
ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ СПЛАЙНАМИ.
Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на отрезке с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе вычислений. Кроме того из-за расходимости процесса интерполяции увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности. Для того, чтобы избежать больших погрешностей, весь отрезокразбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют функцию многочленом невысокой степени ( так называемая кусочно-полиномиальная интерполяция). Одним из способов интерполяции на всем отрезке является интерполирование с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией илисплайном называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных. Слово , ,сплайн’’(английское spline) означает гибкую линейку, используемую для проведения гладких кривых через заданные точки плоскости.
Преимущество сплайнов перед обычной интерполяцией является, во-первых, их сходимость, и, во-вторых, устойчивость процесса вычислений. Рассмотрим частный, но распространенный в вычислительной практике случай, когда сплайн определяется с помощью многочленов третьей степени ( кубический сплайн).
Пусть на задана непрерывная функция. Введем узлы ( сетку):
и обозначим
