Булева алгебра - (реферат)

p>Таким образом, конъюнкция также является операцией калькуляции высказываний. Операция конъюнкции“А и В” представляет собой двучленную операцию; ее обозначают, “А & В”, “АВ”. При возникновении конъюнкции союз “и” иногда заменяется другим союзом (например, “Анатолий здесь, но Бориса нет” или “Анатолий здесь, хотя Борис ушел”и т. д. ). Это не влияет на правильность или ложность результата, имеет только эмоциональное значение. Иногда союз вообще пропускается. Если сказуемые двух предложений, связанных между собой путем конъюнкции, совпадают, то общее сказуемое представлено только в одном из предложений. Например, конъюнкция“я питаюсь хлебом и питаюсь водой” после преобразования имеет следующий вид: “я питаюсь хлебом и водой”. Изучение остальных операций калькуляции высказываний уточняется и облегчается с помощью следующего рассуждения.

Пусть свойства высказываний “правильное” и “ложное”называются логическими значениями и обозначаются знаками пил. Правильность (или ложность) некоторого высказывания А выражается и в такой форме, что логическим значением высказывания А является п (или л).

Если задаются логические значения отдельных членов в некоторой операции калькуляции высказываний, то данной операцией логическое значение результата определяется однозначно. Это позволяет определение таких операций для логических значений (кроме вышеприведенного определения для высказываний) следующим образом: На место и членов и результата подставляются логические значения; причем, вместо результата подставляется логическое значение высказывания, образующееся данной операцией из высказываний с соответствующими членам логическими значениями.

    Например, отрицания логических значений определяются так:

(так как отрицание правильного высказывания является ложным), (так как отрицание ложного высказывания является правильным); а конъюнкции логических значений так:

(так как конъюнкция двух правильных высказываний является правильной), (так как если одно или оба из двух высказываний являются ложными, то и их конъюнкция будет ложной)

На основе вышеприведенного рассуждения изучение операций, проведенных на высказываниях, может быть заменено изучением операций, проведенных на логических значениях. Этого достаточно для исследования выводов (на уровне калькуляции высказываний).

    АЛГЕБРА ЛОГИЧЕСКИХ ЗНАЧЕНИЙ

Операции, проводимые на логических значениях, называются логическими операциями. Для выражения любых логических значении вводятся логические переменные; они обозначаются символами p, q, r, .... , р, р, … Итак, логические переменные могут принимать два “значения”: п или л.

При использовании нескольких операций последовательно порядок выполнения отдельных операции обозначается скобками; например, ~(р) А q) (иногда скобки опускаются). Например, вместо выражения (7p)/\q пишется 7р /\ q при предварительном пояснении, что в случае появления выражения без скобок знак относится только к следующему знаку.

В общем смысле слова n-членной логической операцией называется каждая такая функция, областью существования которой является упорядоченное множество всех выражений, образуемых из логических значений пиле длиной выражения n, а значением ее является одно из двух логических значений п и л. Любая логическая операция может быть выражена через операции отрицания и конъюнкции. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

В области операций на логических переменных помимо отрицания и конъюнкции оказываются полезными некоторые другие операции.

В области одномерных логических операций фактический интерес представляет только отрицание. дизъюнкция

Операция называется дизъюнкцией и обозначается символом “p\/q” (иначе ее называют альтернацией, адъюнкцией, логическим сложением), или “р + q”. Дизъюнкция выражается с помощью операций конъюнкции и отрицания. Связь, созданная между двумя высказываниями при помощи уступительного союза “или”, является такой операцией, которой в области логических значений соответствует операция дизъюнкции: высказывание является ложным тогда и только тогда, если оба высказывания ложны.

(Союз “или”в таком случае применяется в значении допущения, если допускается правильность обоих высказываний). Например: “выпал дождь или полили парк”. Поэтому такое соединение двух высказываний также называется дизъюнкцией. (Символ“V” читается также как “или”).

Операция конъюнкция выражается с помощью операций дизъюнкции. Таким образом, руководствуясь теоремой, что каждая логическая операция может быть выражена с помощью только операций дизъюнкции и отрицания “ни-ни”

    ИМПЛИКАЦИЯ

Операция “р влечёт q” и называется импликацией (с предварительным членом р и с последующим членом q). Допустим, что если р = п, то значение выражения р влечёт q будет или п, или л в зависимости от того, является ли значение q п, или л. Это аналогично тому, что высказывание типа “если А, то В”, в котором первый член А является правильным, считается или правильным, или ложным в зависимости от того, правильный или ложный второй его член В. Поэтому соединению типа“если А, то В” соответствует импликация в области логических значений. Но в то же время при ложном высказывании А предложение типа “если А, то В”может вообще не считаться высказыванием Например: если горит лампочка, то лифт работает.

Если высказывание “горит лампочка” правильно, то правильностью высказывания “лифт работает” однозначно решается правильность вышеприведенного предложения. Но если высказывание “горит лампочка”ложно, то ничего нельзя сказать о правильности вышеприведенного предложения. Можно сказать : надо подождать, пока лампочка загорится Приведем пример, в котором не будет даже возможности“подождать”:

Если 2 * 2 = 5, то Дунай является европейской рекой. Если принять то, что соединение типа“если ... . то”соответствует операции импликации, при соблюдении последнего тождества высказывание“если А, то В” выражалось бы с помощью операций конъюнкции и отрицания в следующем виде : “неправильно, что : А и не В” (здесь присутствует выражение “не В” вместо выражения “неправильно, что В”; таким образом, ясно, что выражение “неправильно, что”, расположенное в начале высказывания, относится не только к Л, но и к выражению“А и не В”). В соответствии с этим приведенные выше два предложения в примере могут быть переформулированы следующим образом:

    а) Неправильно, что горит лампочка и лифт не работает.

б) Неправильно, что 2 * 2 = 5 и Дунай не является европейской рекой. Если выражение“горит лампочка” ложно, то ложно и выражение “лампочка горит и лифт не работает”, а отрицание его — по а) — является правильным. Выражение. “2 * 2 = 5” ложно, ложно также и выражение “Дунай не является европейской рекой”; их конъюнкция — также ложна, а отрицание этой конъюнкции — по б) —является правильным. Здесь нет противоречия по сравнению с обычным пониманием вещей, так как обычно не обращают внимание на правильность сложного предложения типа “если ... . то” в том случае, когда первый член соединения является ложным. Выражения вида “если А, то В” можно считать синонимами выражений вида “неправильно, что: “А и не В”; они называются импликациями (с предварительным членом А, с последующим членом В); для их обозначения применяется символ А влечёт В.

Представленное в области логических значений понятие импликации типа р влечёт q соответствует понятию вышеприведенной операции высказывания. Операции на высказываниях, выражаемые с помощью союзов и частиц, сформулированы недостаточно точно ; в большинстве случаев, они до некоторой степени двусмысленны. По всей вероятности распознавание операций конъюнкции и отрицания наименее проблематично в их грамматической форме представления. Поэтому большое значение имеет возможность выражения любой логической операции через операции конъюнкции и отрицания. Как было показано выше, это позволило нам истолковать образование сложного предложения вида“если ... . то” как операцию. Упоминаются еще некоторые грамматические синонимы операции “А влечёт В”: “В, если только Л”, “Только тогда А, если В”, “Достаточным условием В является А”, “Необходимым условием А является В”, “В если не А”. И конъюнкция и дизъюнкция выражаются с помощью операций импликации и отрицания. Поэтому любая логическая операция может быть выражена с помощью операций отрицания и импликации.

    ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
    Последний вид выражения операции эквивалентности.

Так как высказывание p эквивалентно q = n тогда и только тогда, когда p = q, то данная логическая операция соответствует образованию сложного предложения вида“А тогда и только тогда, когда В”. Понимание и логическое значение предложения такого характера, образованного из двух любых высказываний, иногда затруднительно для восприятия человека, как и понимание предложения вида“если ... . то”. Например, “2 < 3 тогда и только тогда, если светит солнце”. Поэтому данное предложение понимается операцией калькуляции высказываний исключительно в том случае, если считать его синонимом высказываний вида“неправильно, что А и не В, и, неправильно, что не А и В”. В этом случае данная операция “А влечёт В” и называется эквивалентностью. Часто встречаются следующие синонимы данной операции: “Для А необходимо и достаточно б”, “А именно тогда, когда В”.

    Заключение

Булеву алгебру образуют все подмножества некоторого множества. То, что они образуют решетчатую структуру, очевидно. Нетрудно доказать и выполнение дистрибутивности. Нулевым элементом является пустое множество, а единичным—все основное множество. Для каждого подмножества существует дополнительный элемент—дополнение к множеству в теоретико-множественном смысле. Булевы алгебры находят применение главным образом в теории множеств, в математической логике, в теории вероятностей и в функциональном анализе.

    Библиография

1. Малая математическая энциклопедия. Э. Фрид. , И. Пастор. , И. Рейман. , П. Ревес. , И. Ружа. Издательсво академии наук Венгрии. Будапешт 1976 г. 2. Математический анализ. ЧастьIII. В. А. Зоричь. Москва “наука”. 1984 г. 3. Пособие по математика для поступающих в ВУЗЫ. Под редакцией Г. Н. Яковлева Москва“наука” 1988 г.

Страницы: 1, 2