Быстрый поиск

Аппроксимация функций - (реферат)

Дата добавления: март 2006г.

Аппроксимация функций

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей: аналитический

графический
табличный

Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента. Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемойаппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией. Аппроксимациязаключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию ц(ч) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешность такой замены.

ц(х)- аппроксимирующая функция.
Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x0 f(x0) требуется построить аппроксимирующюю функцию j(x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

j(x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an , an-1, …a0, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

Pn(xi)=yi i=0, 1, …n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).

i№j

В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем случае не совпадает с заданной функцией .

Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить значение функции y в точке xc, узлы интерполяции расположены равномерно с шагом Dх=4, 1 начиная с точки х0=1, 3 даны значения функции y={-6. 56, -3. 77, -1. 84, 0. 1, 2. 29, 4. 31, 5. 86, 8. 82, 11. 33, 11. 27}.

    ГСА для данного метода
    CLS
    DIM Y(9)

DATA -6. 56, -3. 77, -1. 84, 0. 1, 2. 29, 4. 31, 5. 86, 8. 82, 11. 33, 11. 27

    X0 = 1. 3: H = 4. 1: N = 10: XC = 10
    FOR I = 0 TO N - 1
    1 X(I) = X0 + H * I
    READ Y(I)
    PRINT Y(I); X(I)
    NEXT I
    S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
    FOR I = 0 TO N - 1
    2 S1 = S1 + X(I) ^ 2
    S2 = S2 + X(I)
    S3 = S3 + X(I) * Y(I)
    S4 = S4 + Y(I)
    NEXT I
    D = S1 * N - S2 ^ 2
    D1 = S3 * N - S4 * S2
    D0 = S1 * S4 - S3 * S2
    A1 = D1 / D: A0 = D0 / D
    YC = A1 * XC + A0
    PRINT "A0="; A0, "A1="; A1, "YC="; YC
    FOR X = 0 TO 50 STEP 10
    Y = A1 * X + A0
    PRINT X, Y
    NEXT X
    END
    XC= 10
    Х Y
    1. 3 -6. 56
    5. 4 -3. 77
    9. 5 -1. 84
    13. 6 . 1
    17. 7 2. 29
    21. 8 4. 31
    25. 9 5. 86
    30 8. 82
    34. 1 11. 33
    38. 2 11. 27
    S=-1. 594203
    АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек с координатами(xi, yi), i=0, 1, 2, ....n, где n- общее количество точек. Как правило, эти табличные данные получены экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную зависимость (например, полином), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.

Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько условий. Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для x=xi и сопоставляемое с yi. Одно из условий согласования можно записать как

S = (fi-yi) ? min ,

т. е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых x=xiдолжна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается. Использование критерия S = |fi-yi| ? min , также не приемлемо, т. к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.

Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т. е. определяют такую функциональную зависимость, при которой S = (fi-yi)2 , (1)

    обращается в минимум.
    В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
    f(x)=C0 + C1X + C2X2+.... +CMXM. (2)

Формула (1) примет вид S = ( C0 + C1Xi + C2Xi2+.... +CMXiM - Yi ) 2

Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S по независимым переменнымС0, С1, ....СМ :

    SC0 = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+.... +CMXiM - Yi ) = 0 ,
    SC1 = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+.... +CMXiM - yi ) Xi = 0 , (3)
    SCM = 2 ( C0 + C1Xi + C2Xi2+.... +CMXiM - Yi ) XiM = 0 ,
    Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
    C0 (N+1) + C1 Xi + C2Xi2 +.... + CM XiM = Yi ,
    C0Xi + C1Xi2 + C2Xi3 +.... + CMXiM+1 = Yi Xi , (4)
    C0XiM + C1XiM+1 + C2XiM+2 +.... + CMXi2M = Yi XiM .

Для определения коэффициентов Сiи, следовательно, искомой зависимости (2) необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы (4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.

    (N+1)
    Xi
    Xi2
    ....
    XiM
    Yi
    Xi
    Xi2
    Xi3
    ....
    XiM+1
    Yi Xi
    ....
    ....
    ....
    ....
    ....
    ....
    XiM
    XiM+1
    XiM+2
    ....
    Xi2M
    Yi XiM

Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов, остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью циклического присвоения.

Задание

Найти коэффициенты прямой и определить значение функции y{-6. 56, -3. 77, -1. 84, 0. 1, 2. 29, 4. 31, 5. 56, 8. 82, 11. 33, 11. 27}, x0=1. 3 h=4. 1, и определить интеграл заданной функции.

    Программа
    ¦CLS
    ¦XC = 10: X0 = 1. 3: H = 4. 1: N = 10
    ¦DIM Y(9): DIM X(9)

¦DATA -6. 56, -3. 77, -1. 84, 0. 1, 2. 29, 4. 31, 5. 86, 8. 82, 11. 33, 11. 27 ¦FOR I = 0 TO N - 1

    ¦X = X0 + H * I:
    ¦X(I) = X
    ¦READ Y(I)
    ¦PRINT X(I), Y(I)
    ¦NEXT I
    ¦S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0
    ¦I = 0
    ¦10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:
    ¦S2 = S2 + X(I):
    ¦S3 = S3 + X(I) * Y(I):
    ¦S4 = S4 + Y(I)
    ¦I = I + 1
    ¦IF I     ¦D = S1 * N - S2 ^ 2:
    ¦D1 = S3 * N - S2 * S4:
    ¦D0 = S1 * S4 - S2 * S3
    ¦A1 = D1 / D:
    ¦A0 = D0 / D
    ¦Y = A1 * XC + A0
    ¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0="; A0,
    ¦PRINT TAB(2); "КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1="; A1,
    ¦PRINT TAB(2); "ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y="; Y
    ¦FOR X = 10 TO 50 STEP 10
    ¦Y = A1 * X + AO
    ¦PRINT X, Y
    ¦NEXT X
    ¦FOR I = 1 TO N - 1
    ¦S = S + Y(I): NEXT I
    ¦D = H / 2 * (Y(0) + Y(N - 1) + 2 * S)
    ¦PRINT "ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D="; D
    Ответы
    Х Y
    1. 3 -6. 56
    5. 4 -3. 77
    9. 5 -1. 84
    13. 6 . 1
    17. 7 2. 29
    21. 8 4. 31
    25. 9 5. 86
    30 8. 82
    34. 1 11. 33
    38. 2 11. 27
    КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A0=-6. 709182
    КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ В ТОЧКЕ A1= . 5007687
    ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ XC Y=-1. 701495
    10 5. 007687
    20 10. 01537
    ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО МЕТОДУ ТРАПЕЦИИ D= 166. 9725