RSS    

   Алгебраические числа - (курсовая)

Алгебраические числа - (курсовая)

Дата добавления: март 2006г.

    Содержание.
    Введение 2
    I. Краткий исторический очерк 3
    II. Поле алгебраических чисел 4
    2. 1. Понятие числового поля 4
    2. 2. Алгебраическое число 5
    2. 3. Поле алгебраических чисел 11
    III. Рациональные приближения алгебраических чисел 14
    3. 1 Теорема Лиувиля 14
    3. 2 Трансцендентные числа Лиувиля 16
    Заключение 18
    Введение.

Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности.

Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел.

Если рассматривать корни многочленов: f(x)=xn+a1xn-1+…+anс целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами.

Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел.

    I. Краткий исторический очерк.

Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b–обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел.

Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810-1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е. И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел.

Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота.

В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел.

Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете.

К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И. Р. Шафаревича, а так же работы Б. Н. Делонга по теории кубических форм.

    II. Поле алгебраических чисел.
    2. 1 Понятие числового поля

Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий.

Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащимМ.

    Пример:

N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т. к. "a, bОN => (a+b) ОN. В отношении умножения множество Nтак же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно:

    5, 7 ОN, но 5-7=-2 ПN,
    3, 2ОN, но 3: 2=1, 5 ПN

Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. Множество чисел вида 2к, кОN, замкнуто относительно умножения и деления. 2к*2l=2k+l

    2к: 2l=2k-l

В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств.

    Рассмотрим один их классов, называемых полем.

Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Последнее означает, что для любых a, b ОM, должно иметь место a+b, a-b, a*b ОM. Так же для любого aОM и любого b№0 из М, должно выполняться a: bОM.

    Пример:
    Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются:
    поле всех рациональных чисел;
    поле всех вещественных чисел;
    поле всех комплексных чисел.

Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления.

Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел.

    2. 2 Определение алгебраического числа.

Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел. Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами:

    anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0
    (a0, a1, … , anОZ; an№0),
    т. е. выполняется:
    anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0

Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, … , an-1, anбыли любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число.

К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z= (p, qОN) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z= (p, qОN) является корнем уравнения: qxn-p=0.

Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше. Пример:

Чиcло z=является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2+2+3. Отсюда z2-5=. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения: x4-10x2+1=0

Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это. , (p, q, ОN).

Из равенства , получаем: . Отсюда, возводя в квадрат, получим: . Следовательно, я является корнем уравнения:

    все коэффициенты которого целые числа.

В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз.

Из f(x)=0 следует f(z)j(x)=0, где в качестве j(x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени.

Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z. Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т. е. z– алгебраическое число степени n.

Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями.

    Пример:

- алгебраическое число 3-й степени, т. е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-2=0 и не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами.

Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=xn+b1xn-1+ … +bn (nі1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z.

Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z.

Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член.

    Пример:

Страницы: 1, 2


Новости


Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

                   

Новости

© 2010.