Денежная политика
p align="center">7328 х 0,5489 = 4022,3 или 4022; 7328 х 0,5583 = 4091,2 или 4091;
7328 х 0,3156 = 2312,7 или 2313;
7328x0,0835 = 611,9 или 612;
7328 х 0,1988 = 1456,8 или 1457;
7328 х 0,3912 = 2866,7 или 2867.
Процесс формирования случайных чисел и определения номера отбираемой единицы продолжается до тех пор, пока не будет получен заданный объем выборочной совокупности.
До настоящего времени на практике в качестве способа отбора обычно применяют механическое формирование выборочной совокупности, не связанное с процедурами получения случайных чисел. При этом способе отбирается каждый (n/N)-й элемент генеральной совокупности. Например, если имеется совокупность из 100 тыс. ед. и требуется выборка в 1000, то в нее попадет каждый сотый элемент. Если единицы в совокупности не ранжированы относительно изучаемого признака, то первый элемент выбирается наугад, произвольно, а если ранжированы, то из середины первой сотни. При достаточно большой совокупности этот способ отбора близок к собственно случайному, при условии, что применяемый список не составлен таким образом, чтобы какие-то единицы совокупности имели больше шансов попасть в выборку. К сожалению, это условие может нарушается. Так, использование 25%-й механической выборки при обследовании городского населения может привести к тому, что для каждого этажа при 4-квартирных площадках будет выбран один и тот же тип квартир (например, только трехкомнатные).
Отбор единиц из неоднородной совокупности осуществляется так называемым стратифицированным (расслоенным) способом, дающим модифицированную форму выборки. В этом случае генеральную совокупность предварительно разбивают на однородные группы с помощью типологической группировки, после чего производят отбор единиц из каждой группы в выборочную совокупность случайным или механическим способом. Этот метод гарантирует, что единицы разных групп (слоев) включаются в выборку пропорционально их численности в генеральной совокупности.
Особая форма составления выборки предполагает серийный, или гнездовой, отбор, при котором в порядке случайной или механической выборки выбирают не единицы, а определенные районы, серии (гнезда), внутри которых производится сплошное наблюдение.
Особенности обследуемых объектов определяют два метода отбора единиц в выборочную совокупность - повторный (отбор по схеме возвращенного шара) и бесповторный (отбор по схеме невозвращенного шара) При повторном отборе каждая попавшая в выборку единица или серия возвращается в генеральную совокупность и имеет шанс вторично попасть в выборку. При этом вероятность попадания в выборочную совокупность всех единиц генеральной совокупности остается одинаковой. Бесповторный отбор означает, что каждая отобранная единица (или серия) не возвращается в генеральную совокупность и не может подвергнуться вторичной регистрации, а потому для остальных единиц вероятность попасть в выборку увеличивается.
Бесповторный отбор дает более точные результаты по сравнению с повторным, так как при одном и том же объеме выборки наблюдение охватывает больше единиц генеральной совокупности. Поэтому он находит более широкое применение в статистической практике. И только в тех случаях, когда бесповторный отбор провести нельзя, используется повторная выборка (при обследовании потребительского спроса, пассажирооборота и т.п.).
В вопросе № 3 дается пример случайной выборки.
Вопрос № 3
Z-Тест
Условие задачи:
Булочная Truro отчиталась, что количество продаваемого ежедневно хлеба составляет 3000. Работник желает проверить точность данного отчета. Случайная выборка за 36 дней показала, что в среднем ежедневные продажи составляют 3150 с колебаниями в 300. Проверьте с 1% уровнем значимости, можно ли принять отчет булочной.
Решение:
1. Сформулируем нулевую и альтернативные гипотезы:
Н0 = {количество ежедневно продаваемого хлеба составляет}:м = 3000.
Н1 = {количество ежедневно продаваемого хлеба не равно}:м ? 3000.
2. Уровень значимости б = 0,01 (это вероятность отклонения верной гипотезы)
По таблице распределения Стьюдента при заданном уровне значимости б и числу степеней свободы df, где df = n - 1 (n - объем выборки) находим квантили (критические точки)
распределения Стьюдента. Они равны:
Accept H0 if -2.75 < Z < 2.75.
Reject H0 if Z ? -2.75; Z ? 2.75.
3.
4. что свидетельствует о попадании в критическую область, то есть выпадает из зоны значений принятия гипотезы Н0.
5. Следовательно, гипотеза Н0 отвергается, то есть при 1% уровне значимости количество продаваемого ежедневно хлеба в количестве 3000 в виде отчета принята быть не может.
В качестве примеров распределений непрерывной случайной величины приведем следующие часто используемые в задачах управления качеством распределения, которые понадобятся нам для дальнейшей работы.
Нормальное (гауссовское) распределение имеет вид
,
Здесь - среднее, - дисперсия распределения СВ.
Равномерное (равновероятное для дискретных СВ) распределение на интервале [a,b] описывается соотношением
Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно
, .
Распределение (хи - квадрат). Если , - независимые нормально распределенные числа с нулевым средним и единичной дисперсией, то статистика (функция случайных величин)
подчиняется распределению с k степенями свободы.
Здесь - гамма функция. Математическое ожидание и дисперсия данного распределения имеют вид соответственно
.
Распределение Стьюдента (t - распределение).
Пусть z - нормальная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Пусть также v - независимая от z СВ, имеющая распределение с k степенями свободы. Тогда СВ
имеет t - распределение с k степенями свободы
Среднее значение и дисперсия равны соответственно
.
Распределение Фишера-Снедекора.
Если u и v независимые СВ, распределенные по закону со степенями свободы и соответственно, то СВ
имеет распределение Фишера-Снедекора
Здесь ., среднее значение и дисперсия равны соответственно
, .
Приведем примеры распределений дискретной СВ, используемые в задачах управления качеством.
Гипергеометрическое распределение, часто применяемое в задачах выборочного контроля, имеет вид
Здесь V - объем контролируемой партии, N - число изделий в выборке, k - число дефектных изделий в выборке, D - число дефектных изделий в партии,
- число сочетаний из D по k.
Среднее значение и дисперсия этого распределения равны соответственно
, .
В случае N<<V гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется биномиальным распределением, вычисляемым по формуле
Здесь - вероятность дефекта, остальные обозначения соответствуют приведенным для гипергеометрического распределения.
Среднее значение и дисперсия для биномиального распределения вычисляются соответственно по формулам
, .
В случае, если число испытаний N возрастает, а вероятность q уменьшается так, что Nq = const, биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона
.
Здесь N - объем испытуемой выборки, k - число интересующих исследователя событий, происшедших в процессе испытаний, - среднее число событий в выборке (интенсивность потока событий). Среднее значение и дисперсия распределения Пуассона имеют вид
Вопросу распределения вероятности касаются вопросы № 4 и № 5.
Вопрос № 4
Chi-Squared Distribution
Условие задачи
Менеджер розничного магазина хочет установить, соотносится или нет количество покупателей, приходящих ежедневно в магазин со временем суток. Счетчик дает следующую информацию, касающуюся количества продаж в разное время дня.
Период времени | Количество продаж | |
8.00 - 10.00 | 75 | |
10.00 - 12.00 | 87 | |
12.00 - 14.00 | 41 | |
14.00 - 16.00 | 32 | |
16.00 - 18.00 | 95 |
Если менеджер хочет проверить гипотезу, что продажи не соотносятся со временем суток на 5% уровне значимости, к какому выводу можно прийти.
Решение:
Сформулируем нулевую гипотезу:
Пусть случайная величина Х - момент продажи. Тогда следующая формулировка нулевой гипотезы является эквивалентной:
Н0 = {случайная величина Х имеет равномерное распределение на [800; 1800]}; согласно равномерному закону, вероятность того, что случайная величина принадлежит одному из периодов равна:
i = 1, …, 5,
где Дi - длительность i-периода.
Расчетное значение статистики получаем по формуле:
Табличное значение критерия при уровне значимости б = 0,05 и числе степеней свободы (k - 1) = (5-1) = 4 равно:
Так как что гипотеза Н0 отвергается .
Значит количество продаж в разные периоды времени за сутки действительно различное.
Вопрос № 5
Распределение вероятности
Условие задачи:
Существует 80% шанс, что обучаемый по программе в компании завершит программу успешно. Какова вероятность, что в группе из 4 выбранных случайным образом обучаемых:
5.1. Все четверо успешно завершат программу?
5.2. Максимум один обучающийся не справится с программой?
Решение:
В данной задаче имеем дело с числом Х появления события при 4 независимых опытах (обучаемые друг от друга независимы). Следовательно, дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, а ее возможные значения 0, 1, 2, 3, 4 соответствуют вероятностям:
Где 0 < Р < 1; q = 1 - p, m = 1, …, n.
Данное распределение зависит от двух параметров: р и n (т.е. от р = 80%/100% = 4/5; n = 4).
Составим ряд распределения:
Х: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
1/625 | 16/625 | 192/625 | 256/625 | 256/625 |
Вероятность того, что никто не завершит успешно программу равна:
Вероятность того, что один человек завершит успешно программу равна:
Вероятность того, что два человека завершат успешно программу равна:
Вероятность того, что три человека завершат успешно программу равна:
5.1. Вероятность того, что все четверо завершат успешно программу равна:
5.2. Вероятность того, что максимум один обучающийся не справится с программой, определяется следующим образом.
Для ответа на данный вопрос необходимо составить ряд распределения случайной величины Х - числа появлений противоположного события в 4 опытах.
Х: | 0 | 1 | … | m | … | n | |
Рn | … | … | qn |
При Х = 0:
При Х = 1:
При Х = 2:
При Х = 3:
При Х = 4:
Х: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
Вероятность того, что максимум один обучающийся не справится с программой равна при этом математическое ожидание не справившихся с программой равно:
Список литературы
1. Добрынин А.И., Салов А.И. Экономика. - М.: Юрайт, 2002.
2. Попов А.И. Экономическая теория. СПб.; М.; Харьков; Минск: Питер, 2000.
3. Фишер С., Дорнбут Р., Шмалензи Р. Экономика. - М.: Дело, 1993.
4. Экономическая теория. / Под ред. Видяпина В.И. и др. - М.: ИНФРА-М, 2000.
5. Экономическая теория. / Под ред. Камаева В.Д. - М.: ВЛАДОС, 1999.
